高中数学课件：3-3-2抛物线的简单几何性质2.pptx

3.3.2抛物线的简单几何性质

(第2课时)

方程

y²=2px

y²=-2px

x²=2py

x²=-2py

图形

X

F0X

外

F

y↑

UFX

范围

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

x∈R,y≥0

x∈R,y≤0

对称性

关于x轴对称

关于y轴对称

顶点

(0,0)

焦半径

焦点弦

x₁+x₂+p

-(x₁+x₂)+p

y₁+y₂+p

-(y₁+y₂)+p

通径

2p

抛物线的简单几何性质

与抛物线有关的重要结论：

设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)为抛物线y²=2px(p0)上两点，

且AB为过焦点的弦.

(1)求证：,y₁y₂=-p²;

(2)如何求弦长|AB|?;

设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)为抛物线y²=2px(p0)上两点，

且AB为过焦点的弦.

(4)试判断以AB为直径的圆与准线

关系；

的位置

〇3))J

Wt

)T

L

h

设点A(xj,y₁),B(x₂,y₂)为抛物线y²=2px(p0)上两点，

且AB为过焦点的弦.

(5)若直线AB与x轴的夹角为θ,弦长|AB|如

何用θ表示?

设点A(xj,y₁),B(x₂,y₂)为抛物线y²=2px(p0)上两点，

且AB为过焦点的弦.

只技也每我教体划，自长2车由月量

乡员空圣原

例5:经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证：直线DB平行于抛物线的对称年思路：证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.

xOy.

2px(p0)

2pX

联立②③,可得点D的

因为焦点F的坐标是

直线A/的方程为

当y,²=p²时，易知结论成立.

所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.

4

,y²(y,=p²)y=y₀p²●0,

y=y₀)(y₀y●p²)●0.

例：已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点

P(-2,1),斜率为k,当k为何值时，直线l与抛物线：

只有一个公共点；有两个公共点；

没有公共点.

例：已知抛物线y²=4x上求一点P,使得P点到

直线y=x+3的距离最短

例6.如图所示，已知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点，MD⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,求点P的轨迹方程。

抛物线中的综合问题

如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.

(1)求y₁y₂的值；

(2)连接MN,记直线MN的斜率为k₁,直线AB的斜率为k₂,证明为定值.

设直线AM的方程为x=ny+1,

代入y²=4x,消去x得y²-4ny-4=0,

所以y₁y₃=-4,同理y₂y₄=-4,

证明设M(x₃,y₃),N(x₄,y₄),

由(1)知yiyz=-8,所

为定值.

练习：如图，已知直线l:y=2x-4交抛物线y²=4x于A,B两点，试在抛物

线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大，并求出这个最大

面积，

:-2yo4,∴(yo-1)²-90.

因此，当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大面积为

·:A(4,4),B(1,-2),…|AB|=3√5.

(方法1)设P(xo,yo)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，

解得或

解：由

∵点P(41,41)在抛物线AOB这段曲线上，·-2414,得:

由题意得点P(4f²,4t)到直线AB的距离

此时点P的坐标为).S₂pAR的最大值为

.:A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3√5设点P的坐标为(4t?,4t).

解得

(方法2)由

或

(方法3)设y=2x+m是抛物线y²=4x的切线方程.

由消去x,并整理，得y²-2y+2m=0.

此时，方程为y²-2y+1=0,解得

;

此时点P到直线y=2x-4的距离d最大(在抛物线AOB这段曲线上).

例：A、B是抛物线y²=2px(p0)上的两点，且OA⊥OB,求证：直线AB经过一个定点

1.知识清单：

(1)和抛物线有关的轨迹问题.

(2)抛物线的综合问题.

2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.

3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误.