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第二章连续时间傅里叶变换

周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS

狄义赫利条件：在同一个周期T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对

可积? f(t)dt??。

T1

傅里叶级数：正交函数线性组合。

正交函数集可以是三角函数集{1,cosn?1t,sinn?1t:n?N}或复指数函数集{ejn?1t:n?Z}，函数周期为

T，角频率为?

?2?f

?2?。

T1 1 1

T

1

任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。

三角形式的FS：

展开式：f(t)?a

0

???

n?1

(an

con?t

11bsinn?t)

1

1

n

系数计算公式：

a直流分量：

a

0

?1?

1T T

1

1

f(t)dt

an次谐波余弦分量：

a

n

?2?

1T T

1

11

1

f(t)cosn?tdt, n?N

bn次谐波的正弦分量：

b

n

?2?

1T T

1

1

f(t)sinn?tdt, n?N

1系数a和b

1

1n n

1

统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。

f1称

f

1

1

?1/T

为信号的基波、基频；nf

为信号的n次谐波。

合并同频率的正余弦项得：

?和?

n n

分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。

傅里叶系数之间的关系：

复指数形式的FS：

展开式：f(t)?

?Fe

?n

?

jn?1t

系数计算：F

n???

?1?

1f(t)e?jn?tdt, n?Z

1

1n T T

1

1

系数之间的关系：

F

n

关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。

正负n(n非零)处的F

n

的幅度和等于c

n

或d的幅度。

n

奇偶信号的FS：

偶信号的FS：

a ?2?

f(t)cosn?tdt；b

?2?

f(t)sinn?tdt?0； c?d ?a

n T1

Fa

F

T 1

1

jb a

2

2

n T T 1

11

1

n n n

?

? n n?

n 2

n?F?n

(Fn

实，偶对称)；?

n

?0；? ?

n 2

偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。(iii)奇信号的FS：

a?a

?0；b

?2?

f(t)sinn?tdt；c?d

?b?2jF；

10 n n T T

1

1

1 n n n n

nF??F?n

n

??1jb

2 n

(Fn

纯虚，奇对称)； ?

n

???；??0

2 n

(iv)奇的周期信号的FS系数只有正弦项。

周期信号的傅里叶频谱：

称?F

称?n

?为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。

?为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。

Fn

称??

n

?为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。

周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率n?1(或频率nf1)上有值。

FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为?1?2?/T1。

FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、

幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位

连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。

称c

n

为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。

F称

F

n

为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅

度。

周期矩形脉冲序列的FS谱的特点：

谱线包络线为Sa函数；

谱线包络线过零点：(其中?1

?2?为谱线间隔)：

T1

1n???k?，或n??2k?，k?Z,k?0

1

T1 ?

即当??n?1

?2?/?时，a ?c

kn n

k

?F?0。

n

在频域，能量集中在第一个过零点之内。

?带宽? ?2?/?或? ?1/?只与矩形脉冲的脉宽?有关，而与脉高和周期均无关。(定义0~2?/?

?

f

为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)

周期信号的功率：

P?f(t)??

?F2

?n

?

帕斯瓦尔方程：1

T1

n???

? f2(t)dt?

T1

? 2

?F

?

n

n???

非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)

信号f(t)的傅里叶变换：

是信号f(t)