三垂线定理及其逆.ppt

三垂线定理及其逆定理 * * O P a A α 若直线PA是平面α的斜线，平面α内有没有直线a与PA垂直？ 猜想:在什么情况下PA⊥a? O P a A α OA⊥a 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在α内的射影，a在平面α内，且a⊥OA 求证：a⊥PA （如图）. O P a A α 若线射垂直，则线斜垂直 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 三垂线定理 O P a A α O P a A α O P a A α 线射垂直 线斜垂直 ？ 三垂线定理的逆定理 A1 D1 C1 B1 A D C B 例1、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证：BD1⊥平面AB1C A1 D1 C1 B1 A D C B A D C B A1 D1 C1 B1 E F M 练习：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1， E、F 分别为棱上的中点，M为DD1的中点， 求证：BM⊥面B1EF B A D C H 正四面体ABCD 例2、如图，在四面体ABCD中， (1)已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC H A D C B  (2) 若点A在面BCD中的射影H为?BCD的垂心 求证：AB⊥CD，AC⊥BD, AD⊥BC H A D C B A D C B (3)若A在平面BCD中的射影H为?BCD的垂心，则D在面ABC中的射影G也为?ABC的垂心。 H G