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数学分析 5-4高阶导数 5-4高阶导数 数学分析 5.4高阶导数 一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 定义 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二、 高阶导数求法举例 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 解 例2 解 例3 解 例5 解 同理可得 注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式 例4 解 例6 解 2. 高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式 例7 解 例8 解 由Lebniz公式，两边求 n 阶导数，有 注意到 注 这一解法的特点：找到了 的连续三阶导数之间的关系，利用 得到两相隔导数之间的关系，解决问题 3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式 例9 解 例10 解 例11 试从 导出 ① ② 解 ① ② 注: ①关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪 一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。 ② 都是对 x 求导 ③ 三、小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法. 思考题 设 连续，且 ， 求 . 思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求 P109 1--6 * *