单调性及最大(小)值教案.doc

PAGE PAGE 1 函数的单调性及最大（小）值教案 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据： 时间间隔t 刚记忆完毕 20分钟后 60分钟后 8-9小时后 1天后 2天后 6天后 一个月后 记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数。艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图： 思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识? 设计意图：联系学生的学习实际，通过几何直观，引导学生关注图象所反映出的特征。 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ 设计意图：引导学生先利用图象描述变化规律，下降，从几何直观角度认识函数的单调性，再从数值变化角度描述变化规律。 xy0 x y 0 x y 0 第一部分 函数的单调性 1、增减函数概念的引入 观察函数f（x）＝x，f（x）＝x2的图象 从左至右看函数图象的变化规律是什么？ f（x）＝x的图象是上升的，f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的，f（x）＝x2的图 象在y轴右侧是上升的， f（x）＝x在（－∞，＋∞）上，f（x）随着x的增大而增大 　　 f（x）＝x2在（－∞，0］上，f（x）随着x的增大而减小 f（x）＝x2在（0，＋∞）上，f（x）随着x的增大而增大 f（x）＝x2在（0，＋∞）上，当x1＜x2时，有f(x1)＜(x2),这时说函数f（x）＝x2 在区间（0，＋∞）上是增函数。f（x）＝x2在（－∞，0］上，当x1＜x2时， 有f(x1)＞(x2)，f（x）在（－∞，0］上是减函数。 xy0x x y 0 x1 x2 f(x1) f(x2) x y 0 x1 x2 f(x1) f(x2) 一般地，设函数f（x）的定义域为I。 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜(x2),那么就说函数f（x）在区间D上是增函数（increasing function）. 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞(x2),那么就说函数f（x）在区间D上是减函数（decreasing function）. 函数的增减性如右图所示。 　　如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，就说函数函数y＝f（x）在这一区间上 具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间。 　　3、函数的单调区间 　　例1、下图中是定义在区间［－5,5］上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ xy12 x y 1 2 3 4 5 -2 -4 -1 -3 -5 1 2 3 －1 －2 －3 告诉我们，对于一定量的气体。 当其体积V减小时，压强p将增大， 试用函数的单调性证明之。 知识链接：如何比较两个代数式的大小？ （1）作差法 （2）作商法 巩固练习： 试确定函数f(x)= 在区间上的单调性。 xy0 x y 0 x y 0 观察函数f（x）＝x，f（x）＝x2的图象, f（x）＝x的图象有最低点吗？f（x）＝x2的图象, 有最低点吗？两个函数的单调区间是什么？ 函数的最大（小）值 f（x）＝x2有最低点，这时x＝0，f（0）＝0，对于任意的x都有f（x）≥f（0） 这个最低点的函数值就是函数的最小值。f（x）＝x无最低点，无最小值。 思考：f（x）＝－x2有最大值还是最小值？ 　　一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对任意的x∈I，都有f（x）＜M； （2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M。那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值。 （maximum value）。你会给出最小值的定义吗？（minimum value） 例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点（大 约在距地面高度25m到30m处）时爆裂。如果在距地面高度18m的地方点火，并且 烟花冲出的速度是14.7m/s。 （1）写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式。 （2）烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？（精确 到1m） 　　分析：根据物理知识，高度的公式为：h＝－gt2＋v0t＋h0（g＝9.8） 抛物线的顶点坐标为（－，） 　　例4、求函数在区间［2,6］上的最大值和最小值。 　　分析：画出它的图象可知，函数在所给的区间上是递减的，因此在两个端点上分 别取得最大值和最小值。