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杨辉三角 杨辉三角 * * * * * * * * * 授课人：新余四中 刘金星 X 二项式定理及展开式: n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a 2 2 2 1 1 1 0 + + + + + + = + - - - L L ） （ 二项式展开式： 二项式系数 通 项 复习回顾 《九章算术》 杨辉 《详解九章算法》中记载的表 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的 《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似右面的表： 杨辉三角:表中除“1”以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 二 项 式 系 数 的 性 质 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二项式系数表 当n= 6时, 其图象是7个孤立点 f（r） r 6 3 O 6 15 20 1 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 性质1：对称性 性质2：增减性与最大值 二 项 式 系 数 的 性 质 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 f（r） r 6 3 O 6 15 20 1 因为 当 时，二项式系数是逐渐增大的。有对称性知它的后 半部分是逐渐减小的，且在中间取的最大值。 由 可知， 所以 相对于 的增减情况由 决定。 f（r） r O 6 15 20 1 20 10 30 35 O 7 f（r） n为奇数 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值 ； 当n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值。 6 3 4 性质3：各二项式系数的和 也就是说, (a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n ？ 2n 赋值法 （ n n n r r n n n n n x C x C x C x C C x 1 2 2 1 0 + + + + + + = + L L ） 令x=1， 二 项 式 系 数 的 性 质 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 的项是( ). 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式 系数相同的项是( ). A 课堂练习: A.第6项 B.第7项C.第6项和第7项 D.第5项和第7项 C A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 例题选讲 小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值  法可以使问题简单化。通常选取赋值  时取－1，1。 证明：在展开式 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a 2 2 2 1 1 1 0 + + + + + + = + - - - L L ） （ 中，令 则得 就是 已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值 变式练习： 解：依题意, n 为偶数，且 例题选讲 引申：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？ 例2 已知 展开式中只有第10 项系数最大，求第五项。