初中第十一章图形与证明复习.doc

第11章 复习 课标要求 获得一些研究问题的方法和经验，发展有条理的思考和有条理的表达能力加深理解相关的数学知识. 体验说理必须步步有据，感受说理的必要性. 通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学解决问题的自信心. 典例剖析 例1、判断下列说法是否正确： （1）如果原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题。 （ ） （2）如果原命题是假命题，那么它的逆命题也是假命题。 （ ） （3）每个命题都有逆命题。 （ ） （4）“面积相等的两个三角形是全等三角形”与“面积不相等的两个三角形不是全等三角形”是一对互逆命题 。 （ ） 分析：对于一个命题，条件与其一致，而结论与其矛盾的实例称为反例。 数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例就行。 解：× × √ × 例2、写出下列命题的逆命题，并在括号内指出它们是真命题还是假命题： （1）原命题：等边三角形是锐角三角 （ ） 逆命题： 。 （ ） （2）原命题：平行四边形的对角线互相平分（ ） 逆命题： 。 （ ） 解：（1）（原命题是真命题） 逆命题：锐角三角形是等边三角形（假命题） （2）（原命题是真命题） 逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形（真命题） 注：原命题成立，它的逆命题不一定成立。 例3、已知：直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，GM平分∠EGB，HN平分∠EHD 求证：GM∥HN 证明： 因为GM平分∠EGB（已知） 所以∠1=∠EGB（角平分线的定义） 因为HN平分∠EHD（已知 ） 所以∠2=∠EHD（角平分线的定义 ） 因为AB∥CD（已知 ） 所以∠EGB=∠EHD（两直线平行，同位角相等） 所以∠1=∠2（等量代换 ） 所以GM∥HN（同位角相等，两直线行 ） 例4、已知：△ABC中，AD是BC 边上的中线。 求证：AD＜（AB+AC） 分析：将求证式变形得2AD＜AB+AC 其结构与“三角形中的两边之和大于第三边”相类似，如果添加辅助线构造出一个三角形，使其两边分别与AB、AC相等。另边长为2AD，则问题可以解决。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连结BD。 在△ECD和△ABD中 ∴ △CDE≌△BDA （SAS） ∴ AB=CE 在△ACE中， AC+CE＞AE（ ） 而 CE =AB，2AD=AE ∴AB+AC＞2AD 即 AD＜（AB+AC） 注意：题目中有中线条件，常常需要倍长中线. 例5、如图，在△MNP中，∠MNP＝45°，H是高MQ和高NR的交点， 求证：HN＝PM． 分析：要证明HN＝PM．只要证明Rt△HQN≌Rt△PQM..在这两个三角形中，　已知有∠HQN＝∠PQM=90°，易证QM＝QN.只需再证一组角等即可。由∠1＋∠4＝90°. 又∠2＋∠3＝90°，且∠3＝∠4，可得∠1＝∠2，则问题获证。 证明：∵MQ⊥PN，∠MNP＝45° 　∴∠QMN＝45°.　 （ ） ∴∠MNP＝∠QMN. ∴QM＝QN.　 （ ） ∵NR⊥PM， ∴∠1＋∠4＝90°. 又∠2＋∠3＝90°，且∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2，（ ） 在Rt△HQN和Rt△PQM中， ∴Rt△HQN≌Rt△PQM. ∴HN＝PM. 思考：如图，在△MNP中，MQ⊥PN，PQ=HQ，∠MNP＝45°，试判断HN和PM的关系，并说明道理． 注意：证明全等三角形根据题设条件，若有一边和该边的对角对应相等，则寻求另一角对应相等；或有一边和该边的邻角对应相等，则寻求夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等 例6、已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M为AC中点，AE⊥BM于E.