线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析课件.ppt

11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析;本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有: 基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析 矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理及稳定性分析;由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数来分析系统的稳定性。 由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时，难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。 目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别寻找建立Lyapunov函数的方法。;本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来分析该线性系统的稳定性。;11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析 设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二次型函数的形式。;上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统 x’=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q 并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个Lyapunov函数。;证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路：;证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 的正定矩阵P存在，故令 V(x)=xTPx. 由于V(x)为正定函数，且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V’(x)=(xTPx)’ =(xT)’Px+xTPx’ =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx 而Q为正定矩阵，因此V’(x)为负定函数。;根据渐近稳定性定理(定理11-4), 即证明了系统的平衡态xe=0是渐近稳定的, 于是充分性得证。 (2) 再证必要性。 Necessity. 即证明: 若系统在xe=0处是渐近稳定的, 则对任意给定的正定矩阵Q, 必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 的正定矩阵P。;证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下;又由于 Q 正定, 矩阵指数函数 eAt 可逆, 则由方程 (4-a)可知，P为有限的正定矩阵。 因此，P 为正定矩阵。;将矩阵 P 的表达式 (4-a) 代入矩阵方程 PA+ATP = -Q 可得:;上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法，该方法 不需寻找Lyapunov函数, 不需求解系统矩阵 A 的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程。 由上述定理, 可得如下关于正定矩阵 P 是Lyapunov矩阵方程的唯一解的推论。;推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳定的, 那么Lyapunov代数方程 PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。 证明 用反证法证明。 即需证明: Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解, 但该系统是渐近稳定的。 设Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解 P1 和 P2, 则将P1 和 P2 代入该方程后有 P1A+ATP1=-Q P2A+ATP2=-Q;两式相减，可得 (P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有;由定理11-7可知，当 P1 和 P2 为满足 Lyapunov 方程的正定矩阵时，则系统为渐近稳定的。 故系统矩阵 A 为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函数 eAT 将随着 T→? 而趋于零矩阵，即 P1-P2=0 或 P1=P2 ;在应用上述基本定理和推论时, 还应注意下面几点: 若V’(x,t)=