课程名称复变函数论课程代码02011（理论）.doc

课程名称： 复变函数论 课程代码：02011（理论） 第一部分 课程性质与目标 一、课程性质与特点 《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。复变函数论不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。在学习过程中，应注意将所学的知识，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。 （1）本课程的教学使学生对复变函数的一些基本概念、基本理论、基本方法有较深刻的认识和理解解决实际问题的能 （2）判定函数解析的充要条件掌握柯西积分定理和柯西积分公式掌握解析函数的幂级数表示法掌握解析函数的洛朗展式与孤立奇点积分的理解解析函数所构成的变换的某些重要特性分式线性变换的映射性质本课程是数学分析的后续课程深地渗到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓学等数学分支，为其提供必要的基础知识。 本章复数和复变函数的基本概念。理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质解析函数解析函数是本课程的主要研究对象，本章教学使学生理解解析函数的概念和判定函数解析的充要条件，掌握简单的初等多值函数理论为后面学习解析函数的其他性质奠定基础。理解函数的义性质及判别解析函数的方法掌握。是函数的定义，利用柯西-黎曼条件判别解析函数的方法的定义利用柯西-黎曼条件判别函数分出初等多值函数单值解析分支，由已给单值解析分支的初值计算终值函数复积分是研究解析函数的一个重要工具本章教学使学生熟练掌握柯西积分定理和柯西积分公式。要求理解复积分的概念、性质，掌握复积分的计算方法；理解柯西积分定理，熟练掌握利用柯西积分定理计算函数沿闭曲线的积分；理解柯西积分定理的推广；理解柯西积分公式、高阶导数公式，熟练掌握利用柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；了解解析函数的无穷可微性；了解柯西不等式与刘维尔定理，掌握其证明方法；掌握利用摩勒拉定理判断解析函数的方法；熟练掌握已知解析函数的实部（或虚部）求该解析函数的方法。 是柯西积分定理柯西积分公式柯西积分定理柯西积分公式柯西积分定理柯西积分公式利用柯西积分定理柯西积分公式掌握已知解析函数的实部（或虚部）求该解析函数的方法解析函数的幂级数表示法级数是研究解析函数的一个重要工具，本章教学使学生理解并掌握把解析函数表示为幂级数的方法，并了解解析函数的其他性质。要求了解复级数的基本概念；掌握复变函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛的定义及判别方法；理解解析函数项级数的和函数的性质；理解幂级数的敛散性；理解收敛圆、收敛半径的概念；了解幂级数和的解析性；理解解析函数的幂级数表示；熟练掌握一些初等函数的泰勒展式；了解幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性；理解解析函数的零点孤立性唯一性定理、最大模原理。是幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性解析函数的洛朗展式与孤立奇点本章教学使学生掌握以洛朗级数为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质要求了解双边幂级数的有关概念；了解洛朗定理，熟练掌握将解析函数分别在指定圆环和孤立奇点去心邻域内展成洛朗级数的方法；了解洛朗级数与泰勒级数的关系；理解孤立奇点的概念，掌握判断孤立奇点类型的方法；了解解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质；解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念。 是洛洛洛洛朗级数与泰勒级数的关系洛洛留数理论及其应用本章教学使学生积分的。要求理解留数的定义，熟练掌握留数的法；理解留数定理，掌握利用留数定理计算函数沿闭曲线的积分；掌握用留数定理计算实积分；了解对数留数的概念；理解辐角原理、儒歇定理，熟练掌握求解析函数在指定区域内的零点个数的方法。 是利用留数定理计算函数沿闭曲线的积分求解析函数在指定区域内的零点个数的方法解析函数在指定区域内的零点个数本章从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论本章教