优良性准则、区间估计.ppt

概率论与数理统计第十八讲从前面两节的讨论中可以看到:同一参数可以有几种不同的估计，这时就需要判断哪一种估计好.另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大似然法即使得到的是同一个估计,也存在衡量这个估计优劣的问题.估计量的优良性准则就是：评价一个估计量“好”与“坏”的标准.7.3估计量的优良性准则01027.3.1无偏性定义1设总体的参数为?，对一切可能的?成立,对于样本X1,X2,?,Xn的不同取值,取不同的值.若是一个统计量，是随机变量.注意：称为?的无偏估计.参数?，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平均来说它等于?.“一切可能的?”是指：在参数估计问题中，参数?一切可能的取值.我们之所以要求对一切可能的?都成立，是因为在参数估计问题中,我们并不知道参数?的真实取值.自然要求它在参数?的一切可能取值的范围内都成立说明无偏性的意义是：用估计量估计12例1设X1,X2,…,Xn为来自均值为?的总体的样本，考虑?的如下几个估计量的无偏性：例如若?指的是正态总体N(?,?2)的均值?,则其一切可能取值范围是(-∞,+∞).若?指的是方差?2，则其一切可能取值范围是(0,+∞).解即样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计.定理1设总体X的均值为?,方差为?2,X1,X2,…,Xn为来自总体X的随机样本，记与分别为样本均值与样本方差，即证明因为X1,X2,…,Xn独立同分布，所以这样前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体N(μ,σ2)中参数σ2的估计,均为很显然，它不是σ2的无偏估计.这正是我们为什么要将其分母修正为n-1，获得样本方差S2来估计σ2的理由.例2求证：样本标准差S不是总体标准差?的无偏估计.证明因E(S2)=?2，所以，D(S)+(E(S))2=?2，由D(S)＞0，知(E(S))2=?2-D(S)＜?2.所以，E(S)＜?.故，S不是?的无偏估计.用S来估计?，平均来说偏低.用估计量估计?，估计误差01均方误差准则02是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小.要注意:为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成，即03证明01注意：均方误差可分解成两部分:哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”.02上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，第二部分是估计量的偏差的平方和.注意：如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有:如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优.这种判定估计量优劣的准则称为方差准则.例3设X1,X2,…,Xn为来自均值为?的总体的样本,考虑?的如下两个估计的优劣：定义故这两个估计都是?的无偏估计.表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好.01020304点估计就是利用样本计算出的值(即实轴上的点)来估计未知参数.7.4正态总体的区间估计(一)优点是：告诉人们“未知参数大致是多少”；缺点是：并未反映估计的误差范围(精度).例如：在估计正态总体均值μ的问题中,若根据一组实际样本，得到μ的极大似然估计为10.12.一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数μ的概率(可靠度、置信度、置信水平(系数)).实际上，μ的真值可能大于10.12，也可能小于10.12.010302甲估计的区间较乙估计的短，故精度较高.05乙估计：人的身高为[150,190];03如：估计某人的身高(cm).01但由于甲估计的区间短，包含该人真正身高的可能性（概率或置信度）小；乙估计的区间长，精度差，但置信度比甲的大.04甲估计：人的身高为[170,180];0201实际中，在保证置信度的条件下，尽可能提高精度，02（用区间的长度来度量）03与置信度04（用估计的区间包含未知量的概率来度量）05是矛盾的.06精度07即区间的长度尽可能短.定义1置信区间的定义实际应用上，一般取α=0.05或0.01.正态总体均值的区间估计或故也可简记为*