一类具有反馈控制的修正Leslie-Gower模型的周期解.pdf

第38卷 第 1期 应 用 数 学 学 报 Vo1．38No．1 2015年 1月 ACTA MATHEMATICAEAPPLICATAESINICA Jan．，2015 一 类具有反馈控制的修正 Leslie．Gower模型的周期解 李祖雄 (湖北省生物资源保护与利用重点实验室，恩施445000) (湖北民族学院理学院，恩旌445000) (E—mail：lizx0427@126．corn) 摘 要 基于经济阈值理论，本文考虑一类具有脉冲反馈控制的修正 LeslieGower模型，得到 该系统阶一周期解的存在性和稳定性的充分条件；在某些情况下，该系统可能存在阶二周期解 或阶三周期解．通过数值模拟验证了主要结果的正确性，本文的结果表明了控制策略是有效和 可靠的． 关键词 修正的Leslie-Gower模型；脉冲反馈控制；全局渐近稳定性；周期解 MR(2000)主题分类 34C25 中图分类 O175．7 1 引言 在害虫防治中，常用经济阈值理论．经济阈值是指采取防治措旌使害虫种群达到在 经济上有利的密度．经济阈值决定于受害作物的状态、采取防治措施的类型、害虫种群 的数量以及他们与作物的关系等许多因素．应用经济阈值概念的优点是使害虫防治措 施能更好地按照害虫的密度及他们所危害的程度进行精细调节．这样防治活动会进行 得更有效、更能达到收益最大的目的．如果防治中必须使用杀虫剂，那么按照经济阈值 标准进行喷药，要比一般定期的预防性喷药少，对于环境的污染程度也必将减少． 基于经济阈值理论，我们应用脉冲反馈控制来实现害虫防治的目的．Meng[，Jiao[， ShiI引 Zhang[ Zhao[]已经对具有脉冲效应的模型进行了研究，Zeng[引，Jiang[71，Tang[】 ， ， 对具有脉冲反馈控制的一些生态模型进行了讨论并得到了周期解的完整表达式，Lv[驯， Yu[∞】应用开关控制方法研究了一些系统的混沌吸引子等动力学行为．然而对于具有脉 本文 2009年 7月 24日收到．2013年 9月 24日收到修改稿． 国家自然科学基金 ，教育部科学技术研究重点项目(212111)，湖北省生物资源保护与利用重点实验 室课题 (PKLHB1327)和湖北民族学院博士启动基金 (MY2011B003)资助项 目． 38 应 用 数 学 学 报 38卷 冲反馈控制的修正的Leslie—Gower模型至今还没有文献进行研究． 在本文中我们将根据一般脉冲 自治系统周期解的存在性判据 [e】和稳定性理论 [11] 讨论具有脉冲反馈控制的修正的Leslie—Gower模型的周期解的存在性和稳定性．本文主 要内容如下：第二部分给出模型和一些预备理论；第三部分研究给定系统的阶一周期解 的存在性和稳定性；第四部分应用数值模拟验证我们的主要结论；最后，我们对本文进 行总结并对生物意义进行讨论． 2 模型与预备知识 最近 Leslie—Gower模型已经引起了学者们的关注 (如 [12，13】)，这些工作仅对三重 营养模型进行数值研究，该模型并入了修正的具有 Holling—II型 LeslieGower功能性反 应．Aziz—Alaoui及 DaherOkiye[H]研究了下列模型： 在许多情况下，当害虫数量低于经济阈值时 (不超过经济危害水平)，我们不采取控 制措施，一旦达到经济阈值时我们就采取控制措施，使害虫数量控制在这个水平之下． 通过探测系统发现当害虫达到这个阈值时我们就同时投放天敌和捕获害虫将害虫控制 在经济阈值之下．本文考虑当X达到经济阈值 (记为 h)时，通过脉冲捕获害虫及脉冲 投放天敌系统 (2．1)被修正如下： fdx=(rl 一 )， yd (一 )，z， {Ax=-px， Ay=qY+7-，