4-1圆方程式.pdf

第四章 圓與球面 §4−1圓 (甲 圓的方程式) (1)圓的定義： 平面上跟一個定點 O等距離r的點P所形成的軌跡稱為圓 。 其中 O稱為圓心，r稱為半徑。 (2)圓的方程式： 從坐標幾何的觀點來看，給定圓心 O(h,k) ，半徑r ，如何來描述圓呢？ 圓這個圖形可否能像直線一樣能用一個方程式來表示呢？ y (a)圓的標準式： 若設圓心 O(h,k) ，半徑為r ， 2 2 2 則此圓的方程式為 (x −h) +(y −k) =r 。 P( , ) r x y [推導 ] ：設P(x ,y )為圓上的點， ⎯ Q( , h k ⇔ PO = r 2 2 O ⇔ (x −h) +(y −k) =r x 2 2 2 ⇔ (x −h) +(y −k) =r 要點： 2 2 2 (1)已知圓心 Q(h,k) ，半徑為r ，即可得圓的方程式(x −h) +(y −k) =r 。 2 2 (2)方程式 (x −h) +(y −k) =A (A0) 代表圓心 (h,k) ，半徑 A 的圓。 (b)圓的直徑式： 若圓的直徑兩端點A(x 1,y 1) 、B(x 2 ,y 2) P 則此圓的方程式為 (x −x )(x −x )+(y −y )(y −y )=0 y 1 2 1 2 A [推導 ] ：設P(x ,y )為圓上的任意點 ⇔ AP ⊥BP B ⇔ AP ．BP =0 ⇔ (x −x 1,y −y 1) ．(x −x 2 ,y −y 2)=0 O ⇔ (x −x )(x −x )+(y −y )(y −y )=0 x 1 2 1 2 (c)圓的一般式： 圓的方程式(x −h)2 2 2 2 2 +(y −k) =r 可化成二元二次方程式x +y +Cx +Dy +E=0 的形式。 反過來說，一個二元二次方程式x 2+y 2+Cx +Dy +E=0 ，是否就代表圓呢？ 例如： 2