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薛丁格方程式 薛丁格方程式（英語：Schr?dinger equation）是由奧地利物理學家薛丁格在1926年提出的一個用於描述量子力學中波函數的運動方程式[1]，被認為是量子力學的奠基理論之一。 薛丁格方程式主要分為含時薛丁格方程式與不含時薛丁格方程式。含時薛丁格方程式相依於時間，專門用來計算一個量子系統的波函數，怎樣隨著時間演變。不含時薛丁格方程式不相依於時間，可以計算一個定態量子系統，對應於某本徵能量的本徵波函數。波函數又可以用來計算，在量子系統裏，某個事件發生的機率幅。而機率幅的絕對值的平方，就是事件發生的機率密度。 薛丁格方程式的解答，清楚地描述量子系統裏，量子尺寸粒子的統計性量子行為。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像電子、質子、正子、等等，與一組相同或不相同的粒子，像原子核。 薛丁格方程式可以轉換為海森堡的矩陣力學，或費曼的路徑積分表述（path integral formulation）。薛丁格方程式是個非相對論性的方程式，不能夠用於相對論性理論。海森堡表述比較沒有這麼嚴重的問題；而費曼的路徑積分表述則完全沒有這方面的問題。 雖然，含時薛丁格方程式能夠啟發式地從幾個假設導引出來。理論上，我們可以直接地將這方程式當作一個基本假定。在一維空間裏，一個單獨粒子運動於位勢??中的含時薛丁格方程式為 ?；(1) 其中，?是質量，?是位置，?是相依於時間??的波函數，?是約化普朗克常數，?是位勢。 類似地，在三維空間裏，一個單獨粒子運動於位勢??中的含時薛丁格方程式為 ?。(2) 假若，系統內有??個粒子，則波函數是定義於?-位形空間，所有可能的粒子位置空間。用方程式表達， ?。 其中，波函數??的第??個參數是第??個粒子的位置。所以，第??個粒子的位置是??。 不含時薛丁格方程式不相依於時間，又稱為本徵能量薛丁格方程式，或定態薛丁格方程式。顧名思義，本徵能量薛丁格方程式，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。 應用分離變數法，猜想??的函數形式為 ?； 其中，?是分離常數，?是對應於??的函數．稍回兒，我們會察覺??就是能量． 代入這猜想解，經過一番運算，含時薛丁格方程式 (1) 會變為不含時薛丁格方程式： ?。 類似地，方程式 (2) 變為 ?。 愛因斯坦詮釋普朗克的量子為光子，光波的粒子；也就是說，光波具有粒子的性質，一種很奇奧的波粒二象性。他建議光子的能量與頻率成正比。在相對論裏，能量與動量之間的關係跟頻率與波數之間的關係相同，所以，連帶地，光子的動量與波數成正比。 1924年，路易·德布羅意提出一個驚人的假設，每一種粒子都具有波粒二象性。電子也有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量決定了它的物質波的頻率與波數。1927年，柯林頓·戴維孫和雷斯特·革末將緩慢移動的電子射擊於鎳晶體標靶。然後，測量反射的強度，偵測結果與X射線根據布拉格定律?(Braggs law) 計算的繞射圖案相同。戴維森-革末實驗徹底的證明了德布羅意假說。 薛丁格夜以繼日地思考這些先進理論，既然粒子具有波粒二象性，應該會有一個反應這特性的波動方程式，能夠正確地描述粒子的量子行為。於是，薛丁格試著尋找一個波動方程式。哈密頓先前的研究引導著薛丁格的思路，在牛頓力學與光學之間，有一種類比，隱蔽地暗藏於一個察覺裏。這察覺就是，在零波長極限，實際光學系統趨向幾何光學系統；也就是說，光射線的軌道會變成明確的路徑，遵守最小作用量原理。哈密頓相信，在零波長極限，波傳播會變為明確的運動。可是，他並沒有設計出一個方程式來描述這波行為。這也是薛丁格所成就的。他很清楚，經典力學的哈密頓原理，廣為學術界所知地，對應於光學的費馬原理。藉著哈密頓-亞可比方程式，他成功地創建了薛丁格方程式。薛丁格用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到了與用波耳模型計算出的能級相同的答案。 但是，薛丁格對這結果並不滿足，因為，索末菲已經將波耳模型加以延伸成為索末菲模型，從而正確地計算出氫原子光譜線精細結構常數的相對論性修正；而薛丁格方程式則不具備相對論不變性，因而無法準確給出符合相對論的結果。薛丁格試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式（現今稱為克萊因-戈爾登方程式，被奧斯卡.克萊因和沃爾特.戈爾登於1926年首先發表）。以描述電子的相對論效應。薛丁格計算出這方程式的定態波函數。可是，相對論性的修正與索末菲的公式有分歧。雖然如此，他認為先前非相對論性的部分，仍舊含有足夠的新結果。因此，決定暫時不發表相對論性的修正，只把他的波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文。1926年，正式發表於物理學界[2]。從此，給予了量子力學一個新的發展平台。 薛丁格方程式漂亮地解釋了??的行為，但並沒有解釋??的意義。薛丁格曾嘗試解釋??代表電荷的密度，但卻失敗了。