函数的 单调性.ppt

* * 函数 函数 函数 函数 3.1.3 函数的单调性 1.请谈谈图象的变化趋势怎样？ O x y O x y 2.你能看出当自变量增大或减少时，函数值如何 变化吗？ 结论：自变量增大，函数值也增大． 在函数 y = f (x)的图象上任取两点 A(x1，y1)，B(x2, y2) ，记 ?x = x2－x1，?y = f (x2)－f (x1) = y2－y1． 自变量增大，函数值也增大． 自变量减小，函数值也减小． ?x ?y O x y x1 x2 f(x1) f(x2) D x D y ＞0 增函数：在给定的区间上任取 x1，x2，且 x1 ≠ x2 ，函数 f (x) 在给定区间上为增函数的充要条件是 ，这个给定的区间就为单调增区间． D x D y ＞0 O x y x1 x2 f(x1) f(x2) 给定的区间 x1 ≠ x2 D x D y ＞0 O x y x1 x2 f(x1) f(x2) 增函数：在给定的区间上任取x1，x2， 函数f (x)在给定区间上为增函数的充要条件是 ，这个给定的区间就为单调增区间。 x y D D 0 x y D D 0 类比得到减函数概念 减函数：在给定的区间上任取x1，x2， 函数f (x)在给定区间上为减函数的充要条件是 ，这个给定的区间就为单调减区间。 O x y x1 x2 f(x2) f(x1) x y D D 0 类比得到减函数概念 O x y x1 x2 f(x1) f(x2) 增函数：在给定的区间上任取x1，x2， 函数f (x)在给定区间上为增函数的充要条件是 ，这个给定的区间就为单调增区间。 x y D D 0 x y D D 0 例1 给出函数 y = f (x) 的图象，如图所示，根据图象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间上是减函数？ 解：函数在区间[-1，0]，[2，3]上是减函数； 在区间[0，1]，[3，4]上是增函数． 2 3 x 1 4 -1 O y （2）观察教材 P 68，例2 的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数． （1）观察教材 P 67，例1 的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数． O x y x1 x2 f(x2) f(x1) 怎样利用函数解析式判断单调性 O x y x1 x2 f(x1) f(x2) 减函数 增函数 y=f(x) 自变量增大(?x0) 函数值增大(?y0) 自变量增大(?x0) 函数值减小(?y0) y=f(x) 例2 证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间(－∞，+∞)上是 增函数． 证明：设 x1，x2 是任意两个不相等的实数，则 ?y = f(x2) － f(x1) = (3x2+2) －(3x1+2) = 3(x2 － x1) 因此，函数 f(x)＝3 x＋2在区间(-∞，+∞)上是增函数． ?x = x2 － x1 计算 ?x 和?y 当 k＞0时，函数在这个区间上是增函数； 当 k＜0时，函数在这个区间上是减函数． 计算 总结：由函数的解析式判定函数单调性的步骤： S1 计算 ?x 和 ?y． S2 计算 k = 　　． S3 当 k＞0时，函数在这个区间上是增函数； 　 　当 k＜0时，函数在这个区间上是减函数． Dx Dy 证明：设 x1，x2 是(0,+∞)内的任意两个不相等的正实数，则 ? y = f (x2)- f (x1) 因此 f (x) = 在区间(0 ，＋∞)上是减函数． 例3　求证：函数 f (x) = 在区间(0，＋∞)上是减函数． ?x = x2- x1 计算 ?x 和?y 当 k＞0时，函数在这个区间上是增函数； 当 k＜0时，函数在这个区间上是减函数． 计算 证明函数 f (x) = 在区间(-∞，0)上是减函数． 2.证明函数单调性的步骤： （1）计算 ?x 和 ?y； （2）计算 k = ； 当 k＞0时，函数 y = f (x)在这个区间上是增函数； 当 k＜0时，函数 y = f (x)在这个区间上是减函数． 1.增函数减函数定义．