强烈推荐数列理科经典试题.docx

数列试题理科1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=49，a4和a8的等差中项为2.(1)求an及Sn；(2)证明：当n≥2时，有．2．在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，证明：.3．已知数列中，其前项和满足： （1）试求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.4．已知数列是首项为，公比的等比数列，设.（1）求证数列的前n项和；（2）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.5．已知正项数列满足：，数列的前项和为，且满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.6．已知数列满足，，()（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围；（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.7．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知an+1=2Sn+2()（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，①在数列{dn}中是否存在三项dm，dk，dp（其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由；②求证：.8．数列满足.（1）求的表达式；（2）令,求.9．已知正项数列的前项和为，且和满足：.(1)求的通项公式；(2)设,求的前项和；(3)在(2)的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值.10．已知各项均不相等的等差数列的前四项和成等比.（1）求数列的通项公式；（2）设，若恒成立，求实数的最大值.11．设函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）对，设，若恒成立，求实数的取值范围．12．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.13．正项数列{an}的前项和满足：－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn.14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设cn＝·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1cn..15．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有＋…＋＝，记Sn为数列{an}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝3n＋(－1)n－1λ·2an(λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn＋1bn.16．已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… （1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.（2）证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.17．数列满足：（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。18．给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.19．设函数，证明：（Ⅰ）对每个，存在唯一的，满足；（Ⅱ）对任意，由（Ⅰ）中构成的数列满足.参考答案1．(1) ； (2)见解析【解析】试题分析：(1) 设等差数列的公差为，由题设列方程组，解出 ，进而求出 和; (2)放缩法裂项求和并证不等式：思路一： 思路二：试题解析：解：(1)解法一：设等差数列的公差为，所以有， 2分解得， 4分所以 6分解法二： 1分 2分 3分 4分所以 6分(2)证明：方法一：由（Ⅰ）知，①当时，原不等式亦成立 7分②当时，， 9分＝＝＝ 2分 12分方法二：由（Ⅰ）知，当时， 8分＝＝＝ 2分 12分考点：1、等差数列；2、裂项求和；3、放缩法证明不等式.2．（1）an＝n＋1；（2）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比中项、放缩法、数列的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先用等比中项的定义将数学语言转化为数学表达式，再用等差数列的通项公式将已知的所有表达式都用和展开，解方程组解出基本量和，利用等差数列的通项公式写出数列的通项公式；第二问，先利用单调性的定义，利用来判断数列单调递增，所以最小值为，从而证明，再利用放缩法证明.试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d．由已知得，注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1．所