6.4基及维数(二).ppt

数学与计算机科学学院高等代数课件 * 第6章 向量空间 6.1 向量空间的定义与例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基与维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 6.4 基与维数 一、内容分布 6.4.1 生成子空间 6.4.2 向量空间的基 6.4.4 子空间的与、直与、余子空间 6.4.3 向量空间的维数 二、教学目的 三、重点、难点 1．掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法． 2．理解基在向量空间理论中所起的作用． 基与维数的概念及求法、维数定理． 3．了解子空间的与、直与、余子空间． 四、难点 子空间的直与、余子空间． 6.4.1 生成子空间 1、设V是数域F上向量空间， 是V 中r个向量，则 构成V的一个子空间。 L( ) 即L( ) 或L( ) L( ) 3、可以由有限个向量生成的子空间叫做有限生成子空间。 4、几点注意 (1)生成子空间提供了一种构造子空间的方法； (2)有限生成的子空间所含向量个数不一定有限； 只有L(0)={0}所含向量个数是有限的； (3)除零空间外，任意一个向量空间都可以构造出无数个子空间，当然其中可能有许多是相同的； (4)等价的向量组生成相同的子空间。 5、定理6.4.1 设 是向量空间V 的一组不全为零的向量,而 是它的一个极大无关组。那么 根据这个定理,如果有限生成子空间 不等于零子空间, 那么它总可以由一组线性无关的生成元生成。 6.4.2 向量空间的基 （1） 线性无关； （2）V的每一个向量都可以由 线性表示。 1、定义 设V是数域F上一个向量空间，如果在V中存在一组向量 满足： 4、有限生成的非零向量空间一定有基，其基就是生成元组的一个极大无关组。 5、一个向量空间如果有基的话，其基一般并不唯一。但一个向量空间的任意两个基是彼此等价的，并且所含向量个数相同。 6.4.3 向量空间的维数 1、定义 一个向量空间V的基所含向量个数叫做V的维数。记作dimV。 零空间的维数定义0。 2、n维向量空间中任意多于n个向量的向量组一定线性相关。 3、定理6.4.4 设 是n维向量空间Ｖ中一组线性无关的向量．那么总可以添加 n – r 个向量 ，使得 作成Ｖ的一个基。特别地，n维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以取作基。 4、定理6.4.5 设Ｗ?与Ｗ?都是数域Ｆ上向量空间Ｖ的有限维子空间．那么Ｗ?＋Ｗ?也是有限维的，并且 dim（Ｗ?＋Ｗ?） ＝dimＷ?＋dimＷ?－dim（Ｗ?∩Ｗ?） 维数公式 6.4.4 子空间的与、直与、余子空间 1、子空间的与 (1)直与的定义 2、子空间的直与 (2)直与的等价条件 证明：（1）→（2）→（3）→（4） →（1） 3、余子空间 (1)定理：设W是向量空间V的一个子空间，那么一定存在V的一个子空间U，使得 (2)定义：设W是向量空间V的一个子空间，如果V的子空间U满足 ，则称U为W的一个余子空间。 例11、在几何空间V3中，W为过原点的平面，那么W的余子空间是任一过原点且不在此平面内的直线。 (3) 余子空间不唯一。 课堂练习 P235-236：1,5 课外作业 P236：2,3,4,7 数学与计算机科学学院高等代数课件 *