傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用.pdf
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1.前言
1.1背景
利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变
换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以
使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积
分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属
于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变
换。
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傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用
积分变换的理论和方法是简化问题的一种重要而有效的数学方法，它不仅应用于许多数学分支，而且在物理与工程技术上都有广泛应用，特别是在自动控制和电信技术上，积分变换是分析问题的重要而有效的手段。本文将就积分变换中最常用的傅里叶变换和拉普拉斯变换在实际中的应用进行简略的阐述。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。 傅里叶变换分为离散变换和连续变换，由于实际生活中所获取的信号一般都是离散的，所以离散型的傅里叶变换更为我们所接受， 连续傅里叶变换通常只做实验
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*第二章拉普拉斯变换§2.2Laplace变换的性质*第二章拉普拉斯变换§2.2Laplace变换的性质§2.2Laplace变换的性质一、线性性质与相似性质二、延迟性质与位移性质三、微分性质四、积分性质五、卷积与卷积定理对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等)的次序交换问题，均不另作说明。所涉及到的函数的Laplace在下面给出的基本性质中，且变换均假定存在，它们的增长指数均假定为c。§2.2Laplace变换的性质证明(略)性质一、线性性质与相似性质1.线性性质P66P66解解令证明性质一、线性性质与相似性质2.相似性质(尺度性质)P66证明二、延迟性质与位移性质1.延迟性质则对
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报告人：王伟
专 业：光学工程
院 系：信息科学与工程学院;积分变换法在电路分析中的应用;积分变换法在电路分析中的应用;积分变换法在电路分析中的应用;积分变换法在电路分析中的应用;积分变换法在电路分析中的应用;
;积分变换法在电路分析中的应用;积分变换法在电路分析中的应用;积分变换法在电路分析中的应用;积分变换法在电路分析中的应用;PPT主要内容;PPT主要内容;2016-12-14;2016-12-14;2016-12-14;2016-12-14;2016-12-14;2016-12-14;2016-12-14;2016-12-14;2016-12-14;2016-12-14;2
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傅里叶变换 拉普拉斯变换 的区别;Points of This Lecture;
part one;Background Of Two Transform—fourier;Background Of Two Transform—laplace;
part two;Advantage Of Fourier Transform;Advantage of Fourier transform;
part three;Differences Bet
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一傅里叶变换在应用上的局限性
在第三章中，已经介绍了一个时间函数满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即
(正变换) (5.1)??
???????????????? (反变换) (52)
但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号，斜变信号，单边正弦信号等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。
还有一些信号，例如单边增长的指数信号等，则根本就不存在傅里叶变换。
另外，在求傅里叶反变换时，需要求从到区间的广义积分。
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4.11拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系01主要内容02重点：从函数拉氏变换求傅氏变换03难点：判断函数傅氏变换的存在04引言05从函数拉氏变换求傅氏变换
一、引言由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
傅氏变换与拉氏变换的区别和联系
1.
2.衰减函数，傅氏变换是存在:
3.例如：
若收敛坐标σ0=0，F(s)的收敛域为Re［s］＞0，F(s)的收敛域不包含jω轴，故F(s)在jω轴上不收敛。若令s=jω，则F(s)不等于F(jω)。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点为m个一阶极点jβi(i=1,2,…,m)。将F(s)展开为部分分式，表示为A式中，Fa(s)表示左半平面极点对应的分式。令Fa(
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(5)--2.2拉普拉斯变换-2.2.2拉普拉斯变换性质.ppt
2.2.2拉普拉斯变换的基本性质
若?、?是任意两个复常数，且：证明：则：拉普拉斯变换的基本性质(1)线性定理
若：证明：则：拉普拉斯变换的基本性质(2)平移定理
若：证明：f(0)是t=0时的f(t)值则：拉普拉斯变换的基本性质(3)微分定理
同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：拉普拉斯变换的基本性质(3)微分定理
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：如果：函数f(t)及其各阶导数的初始值均为零，即则：拉普拉斯变换的基本性质(3)微分定理
若：则：证明：函数f(t)积分的初始值拉普拉斯变换的基本性质(4)积分定理
同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：若：函数f(t)各重积分的初始值均为零，则有注：利用
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时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应 4 如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量 和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示 和 的卷积 — 这就是卷积定理
矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 1 tri 是三角形函数
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第9章 动态电路的复频域分析 第九章 动态电路的复频域分析 内容提要： 1. 拉普拉斯变换的定义和它的一些重要性质； 2. 用部分分式法求解拉普拉斯反变换； 建立电路的复频域模型，利用复频域法求解电路 的各种响应。 复频域分析法： 拉普拉斯变换 微分方程 代数方程 拉氏反变换 复频域的解 时域的解 线 性 电 路 时域 复频域 目的 ：解决时域分析法存在的难点。 1. 当电路阶数增高时，微分方程的阶数增高，求解 困难； 2. 某些电路确定初始条件以及由初始条件确定积分 常数较困难。 第一节 拉普拉斯变换及其性质 一、拉普拉斯变换 1. 定义： 若时间函数 f(t)
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第六章 拉普拉斯变换;第六章 拉普拉斯变换;6.2 拉普拉斯变换的性质;骂所哭沧拘集荷掠干磐慈拾帜鸯洛僧梗纸鸦本习辈割汞雇畜隔亭队帧泄窜拉普拉斯变换性质与反演拉普拉斯变换性质与反演;理未搔稍枝运粉保了演嫌苇郁熙磷欺晒楔宰似舞曝歌封苑眠词大避界肩磁拉普拉斯变换性质与反演拉普拉斯变换性质与反演;即;闪纂嘛汰炭粘础身门柔岩跳枯颊竣萄裕盼齐世乃赏异谴窗回司斋丧马漠毋拉普拉斯变换性质与反演拉普拉斯变换性质与反演;亚砰杉殆屎你锡邹殷曝广皋柄涤政冬锰突庄倡柬女旅织傻匪跺杯阁袜蹲搬拉普拉斯变换性质与反演拉普拉斯变换性质与反演;雌咕光蒜鲜簧鼎愤作鱼锈昼蕾铂燎咒向抱颠赠奈输纶之帅瘫司尤廖榆勺耗拉普拉斯变换性质与反
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§2.2 Laplace 变换的性质; 对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) ;证明 ;解;解;令 ;二、延迟性质与位移性质;二、延迟性质与位移性质;已知;根据延迟性质有 ;证明 ;三、微分性质;三、微分性质;解 ;三、微分性质;根据象函数的导数性质有 ;解 ;根据位移性质有 ;;四、积分性质;再由积分性质得 ;一般地，有 ;根据象函数的积分性质有 ; 部分基本性质汇总;微分性质;五、卷积与卷积定理;解 ;五、卷积与卷积定理;定理 ;故有 ;利用 Laplace 变换计算广义积分;由
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信号与系统信号与系统信号与系统§4.2拉普拉斯变换的基本
性质一．线性性解：例：已知求的拉普拉斯变换说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。若为常数则二．延时（时域平移）若则证明：二．延时（时域平移）注意：(1)一定是的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式等所表示的信号不能用时移性质二．延时（时域平移）例：已知求因为所以解：二．延时（时域平移）解：4种信号的波形如图例：已知单位斜变信号的拉普拉斯变换为求的拉普拉斯变换二．延时（时域平移）只有信号可以用延时性质二．延时（时域平移）时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。结论：单边周期信号的拉普拉斯
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数学物理方法 第六章 拉普拉斯变换 6.2 拉普拉斯变换的性质 即 6.3 拉普拉斯变换的反演 数学物理方法
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9.2 拉普拉斯变换的性质.2 拉普拉斯变换的性质9.2 拉普拉斯变换的性质9.2 拉普拉斯变换的性质.ppt
故有 解 由于 P225 例9.16 轻松一下 …… * 第九章 拉普拉斯变换 §9.2 Laplace 变换的性质 §9.2 Laplace 变换的性质 一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理 对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。 所涉及到的函数的 Laplace 在下面给出的基本性质中， 且 变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c 。 §9.2 La
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2.2拉普拉斯变换的性质.ppt
由 解 得 利用 Laplace 变换计算广义积分 附： 已知 解 由积分性质有 即得 (返回) 利用 Laplace 变换计算广义积分 附： P102-103 5、(1)(3)(4) 6、(1)(3)(5) 7、(1) 8、(1)(4) 9、(1) 11、(2) 作业： * 第二章 拉普拉斯变换 §2.2 Laplace 变换的性质 §2.2 Laplace 变换的性质 一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、卷积与卷积定理 对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等