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专题三： 排列、组合及二项式定理 一、排列、组合与二项式定理 【基础知识】 1.分类计数原理（加法原理）N m m  m . 1 2 n 2.分步计数原理（乘法原理）N m m  m . 1 2 n n！ Am n(n1)(nm1) * 3.排列数公式 = = .(n，m∈N ，且m≤n)． n (nm)！ Am  n(n1) (nm1) n！ Cm n * 4.组合数公式 = = = (n，m∈N ，且m≤n). n m  m！(nm)！ A 12 m m 5.组合数的两个性质： (1) Cm = Cnm ; n n m m1 m C C C (2) + = n n n1 （3）C C C C Cr r r r r1. r r1 r2 n n1 m m 6.排列数与组合数的关系是：A m！C . n n n 0 n 1 n1 2 n2 2  r nr r  n n 7.二项式定理：(ab) C a C a bC a b  C a b  C b ; n n n n n r nr r 二项展开式的通项公式：T C a b (r0，1，2，n). r1 n 【题例分析】 例 1、从6 名短跑运动员中选 4 人参加 4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑 第四棒，问共有多少种参赛方法 A4 解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有 4 种；（2）甲、乙二人有且仅有 1 C3 A4 A3 C2 A4 A3 A2 人参加，有 2 4 （ 4 － 3 ）种；（3）甲、乙二人均参加，有 4 （ 4 －2 3 ＋ 2 ） 种，故共有 252 种． 点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． 例 2: 有 5 个男生和 3 个女生，从中选取 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符 合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表． 3 2 4 1 5 （C3