概率论与数理统计期末复习题汇总.doc

目 录 一、概率论部分 1 1.“几何概型”问题 1 2.“图解法”问题 3 3.“事件独立性”问题 5 4.“全概公式”问题 5 5.“事件关系与运算”问题 8 6.“协方差与相关系数”问题 8 7.“独立与相关”问题1 9 8.“独立与相关”问题2 （既不相关又不独立总结） 10 9.“结论”问题 11 10.“几何分布”问题 13 11.“正态分布几个结论”问题 14 12.“离散型”问题 16 二、数理统计部分 18 1. 点估计：矩法、最大似然法 18 2. 区间估计与假设检验 20  一、概率论部分 1.“几何概型”问题 例1 在长l的线段AB上任意投掷两个质点M和N，则点A离点M比离点N近的概率为( ) A B． C． D．1 解 事件A＝{点A离点M比离点N近}，并且设|AM|＝x，|AN|＝y，则0≤x≤l，0≤y≤l，因此 Ω＝{(x，y)|0≤x≤l0≤y≤l}， A＝{(x，y)|0≤x≤y≤l}， 故选择C. 设平面区域D是由x＝1，y＝0，y＝x所围成今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y＝x2与y＝x所围成的区域D1内的概率． 分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D1的概率．根据几何概型，有 第二步：设X＝{落入D1内的点数}，有于是 P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)设随机变量X和Y的联合分布在正方形G＝{(x，y)：1≤x≤3，1≤y≤3}上均匀分布，试求随机变量U＝|X－Y|的概率密度p(u). 解 由条件知X和Y的联合密度为 以F(u)＝P(U≤u)(－∞＜u＜∞)表示随机变量U的分布函数.显然，当u≤0时，F(u)＝0；当u≥2时，F(u)＝1. 设0＜u＜2，则 于是，随机变量的密度为 l的线段上，任意选取两点M和N求E|M－N|，D|M－N| 解 令Z＝|M－N|，先求pF(z)＝P(Z≤z)＝P(|M－N|≤z)， p(z)＝F′(z) 再求E(Z)和D(Z). 例5（1） 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max{X，Y}≤1}＝. 答案是： 分析本题主要考查“二维均匀分布”中有关概率的计算问题. 由题设，可知(X，Y)～U(D)，其中D＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤3}. 解法1 P{max(X，Y)≤1}＝P(X≤1，Y≤1)＝P(X≤1)·P(Y≤1)解法2 由几何概型可知 在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为答案是：分析本题主要考查“二维均匀分布或几何概型”.设随机取到的两个数为X与Y，则(X，Y)服从正方形区域上的均匀分布.一方面我们可以利用二重积分计算 另一方面我们也可以根据几何概型来计算，即 2.“图解法”问题 例1 设事件A、B、C满足P(B)＝2P(A)，P(C)＝3P(A)，并且P(AB)＝P(BC)，则P(A)的取值范围是( ) A B． C． D． 解 由于AAB，于是有 x＝P(A)≥P(AB)＝y＝P(BC)利用加法公式，有 1≥P(B＋C)＝P(B)＋P(C)P(BC)＝3x＋2x－y≥3x＋2x－x＝4x≥0 即0≤4x≤1 0≤x≤. 故选择D. 2 设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为，仅有B发生的概率为，则P(A)＝_______. 解 所以 例3 设X～N(2，σ2)，并且P(2＜X＜4)＝03，则P(X＜0)＝______. 设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的(0＜＜1)，数满足P{X＞}＝.若P{|X|＜x}＝，则x等于 (A)(B) (C) (D)u1－α 解 由题设，可知uα满足P(X＞uα)＝α.可见，若要P(|X|＜x)＝α，即P(|X|≥x)＝1－α，而P(X＞x)＝，因此 故选择C. ②等价定义 A. 两两独立+与独立（三者之一） B. + 或1 例 设事件A、B、C满足P(AB)＝P(A)P(B)，并且P(C)＝[P(C)]2，则A、B、C( ) A一定不是两两独立；B．不一定是两两独立； C一定是相互独立；D．一定不是相互独立. 由P(C)＝[P(C)]2，我们有P(C)＝0或1 故选择C. 证明：(1)对于任意的A，由于ACC，P(AC)≤P(C)＝0 P(AC)＝0＝P(A)P(C)即A与C相互独立 (2)(C＋)A＝A， P(A)＝P(A)－P(AC)＝P(A)－P(A)P(C)＝P(A)(1－P())＝P(A)P