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型函数的教与学 宕昌一中 李甲银 三角函数是一类周期函数，我们在教学中一定要考虑它这 一特点对它进行研究，如对型函数单调性的讨论： 例.函数，在什么区间上是减函数？ 误解：设则因为函数在区间上是减函数，所以当，即时函数，是减函数。 ∴函数在区间上是减函数。 整个求解过程看起来似乎完美无缺，无懈可击，但实际上是一种误解，问题出现在哪儿呢？下面我们先给出两种正确的解法，然后再回过头来剖析以上解答中的错误。 解法1：由得，设，则，因为函数在区间上是减函数，所以当，即时函数，即是减函数。 所以，函数在区间上是减函数。 解法2：设则，，因为函数, 是减函数, 则函数是增函数，此时，，即，所以函数，在区间上是减函数。 说明：因为所以解法1和解法2的结论的解集实质上是一样的。 解法1是从函数的图象变换出发，利用诱导公式，首先将的系数变为为“正”值，进而展开求解，获得正确的答案。 解法2是从复合函数的观点出发，依据复合函数的增减性的讨论思想，即“求的增（或减）区间，在为函数时转化为求的定义或与的增（或减）区间的交集，在为减函数时，转化为的定义域与的减（或增）区间的交集”利用分析法的解题思路，将问题转化为寻求使命题成立的充分条件，以逆向思维取胜。 现在我们来看误解中的错误： 参照解法1，不难看出学生忽略了对x系数的考虑，这种错误表面上看起来是出于粗心，其实不然，笔者循着学生的解题思路，不防谈几点看法，仅供参考： 1、从心理学的角度分析，这些学生受了定势思维的影响，他们在解题时，首先对问题进行了模式的辨认，当解决类似新问题时，具有试图把问题纳入到已建立的模式加以解决的心理倾向。 2、缺乏变量的范围意识，教材对函数 的计论，是在的条件限制下展开的学生忽视了对变量范围的认真分析，生搬硬套，导致了错误的产生。 3、从函数结构的观点来看，学生错误把函数看作正弦函数，这说明学生对三角函数的相关概念还掌握得不够透彻。 纵观历年来的高考试题，每年都有涉及函数的图象和性质问题，尤其近几年，不但考查的题量有所增加，而且内容上有综合化，深入的趋势，所以关于函数的研究和教学应引起我们的是足够重视，下面笔者针对学生所犯错误以及多年的教学实践体会，谈一谈在函数 的教学中值得注意的几点倾向： 1、从教学过程看许多人认为这部分内容没什么可讲，因此，萎缩和削弱知识发生的过程，过分膨胀应用过程，即概念公式一带而过而将大量的时间用于练习应用。 2、从思维状态看，忽视探索性的非论证思维的培养，过分偏重于整理性的讨论思维的训练，即忽略数学结论或解题方法被发现过程的教学，只重视证题思路的整理和论述，例如有关函数的图象变换，往往只注重结论的整理，而较少揭示其变化的内涵等。 3、从教学思想看，忽视基本数学思想和常用数学方法的教学，过分强调“框题型，对套路”，企图强化思维定势，结果是使学生陷入思路呆板，单一的状态，从而失去了培养学生良好思维品质的契机。 产生上述问题的原因是：（1）对函数在中学数学中的重要地位认识不足。 （2）把数学的教学看成是思维结果的教学，因此，改变上述现象必须首先转变观念，其次要提高认识，数学教学是数学思维的教学，要充分揭示数学思维过程，加强知识发生发展的过程。 总之，关于函数的教学，我们不仅要重视双基，而且还要注重它在发展思维方面的智力价值，即要使学生学会学习，学会创造，还要给学生以个性品质发展的良好培养，使我们教学达到事半功倍的效果。