2025届高考数学一轮复习第十章选修系列选修4_4坐标系与参数方程第一节坐标系教师文档教案文北师大版.doc
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选修4－4坐标系与参数方程
第一节坐标系
授课提示：对应学生用书第198页
[基础梳理]
1．坐标系
(1)坐标变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x（λ0），,y′＝μ·y（μ0）))的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O，叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴非负半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)（x≠0）.))
3．常用简洁曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r
圆心为(r，0)，半径为r的圆
ρ＝2rcosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)θ≤\f(π,2)))
圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆
ρ＝2rsinθ(0≤θπ)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a，0)，与极轴垂直的直线
ρcosθ＝a
过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线
ρsinθ＝a
1．明辨两个坐标
伸缩变换关系式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ＞0），,y′＝μy（μ＞0），))点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．
2．极坐标方程与直角坐标方程互化
(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简．
(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．
[四基自测]
1．(基础点：点的直角坐标化为极坐标)点P的直角坐标为(1，－eq\r(3))，则点P的极坐标为______．
答案：(2，－eq\f(π,3))
2．(基础点：圆的极坐标方程)在极坐标系中，圆心在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，π))且过极点的圆的方程为________．
答案：ρ＝－2eq\r(2)cosθ
3．(易错点：圆的极坐标方程的圆心和半径)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，则圆C的半径为________．
答案：eq\r(6)
授课提示：对应学生用书第199页
考点一伸缩变换
[例](1)在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝5x，,y′＝3y))后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，求曲线C的方程．
[解析]把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝5x,y′＝3y))代入曲线2x′2＋8y′2＝1，可得2(5x)2＋8(3y)2＝1，化为50x2＋72y2＝1，即为曲线C的方程．
(2)在同始终角坐标系中，求满足下列图形的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.
[解析]法一：设变换为φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ0），,y′＝μy（μ0），))可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1.
将4x2＋9y2＝36变形为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，
比较系数得λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(1,2).所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,2)y.))
故将椭圆4x2＋9y2＝36上的全部点的横坐标变为原来的eq\f(1,3)，纵坐标变为原来的eq\f(1,