2024_2025学年新教材高中数学第六章统计4.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数学案北师大版必修第一册.doc

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分层随机抽样的均值与方差百分位数

新课程标准解读

核心素养

1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律．驾驭分层随机抽样的均值与方差

数据分析

2.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义

数据运算、数据分析

甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成果的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成果的平均数为82分，方差为4.

[问题]甲班和乙班这60人的数学成果的平均分是eq\f(80＋82,2)＝81分吗？方差是eq\f(2＋4,2)＝3吗？为什么？

学问点一分层随机抽样的均值与方差

1．分层随机抽样的平均数

(1)一般地，将样本a1，a2，…，am和样本b1，b2，…，bn合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为eq\f(a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bn,m＋n)＝eq\f(m,m＋n)·eq\f(a1＋a2＋…＋am,m)＋eq\f(n,m＋n)·eq\f(b1＋b2＋…＋bn,n).

于是，当已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为eq\x\to(x)1和eq\x\to(x)2时，可得这个新样本的平均数为eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)1＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(x)2.记w1＝eq\f(m,m＋n)，w2＝eq\f(n,m＋n)，则这个新样本的平均数为w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2，其中w1，w2称为权重．

(2)设样本中不同层的平均数和相应权重分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n.为了简化表示，引进求和符号，记作w1eq\x\to(x)1＋w2eq\x\to(x)2＋…＋wneq\x\to(x)n＝eq\i\su(i＝1,n,w)ieq\x\to(x)i.

2．分层随机抽样的方差

设样本中不同层的平均数分别为eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n，方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝eq\i\su(i＝1,n,w)i[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(x)i－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)为这个样本的平均数．

已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2024年8月份调查得知该省全部城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市的房价的方差为________．

解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，

解得s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.

答案：118.52

学问点二百分位数

1．p分位数

一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0,1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的随意一个数小于或等于它的可能性是p.

2．四分位数

25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据依据从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是eq\f(1,4).因此这三个百分位数也称为总体的四分位数．

3．计算p分位数的一般步骤

第1步，依据从小到大排列原始数据；

第2步，计算i＝np；

第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

1．某班级人数为50，班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？

提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．

2．“这次数学测试成果的70%分位数是85分”这句话是什么意思？

提示：有70%的同学数学测试成果小于或等于85分．

1．下列关于一组数据的50%分位数的说法正确的是()

A．