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三相正弦交流电路习题解析

习题：

假设有一平衡三相交流电源，线电压为380V，频率为50Hz。每个负载的阻抗为\(10\Omega+j5\Omega\)，采用星形（Y）连接。求：

1.每个负载上的相电流有效值。

2.线电流的有效值。

3.电源的相电压和线电压的相位角差。

4.若将负载从星形连接改为三角形（Δ）连接，每个负载上的电流如何变化？

解析：

1.每个负载上的相电流有效值：

由于负载是星形连接，相电压等于线电压除以\(\sqrt{3}\)。所以相电压\(V_{ph}\)为：

\[

V_{ph}=\frac{V_{line}}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}\approx219.4V

\]

根据欧姆定律，相电流\(I_{ph}\)可以通过下面的公式求得：

\[

I_{ph}=\frac{V_{ph}}{Z}=\frac{219.4}{10+j5}

\]

这里，\(Z\)是负载的复阻抗。为了得到有效值（均方根值），我们需要考虑阻抗的模长。所以：

\[

|I_{ph}|=\frac{|V_{ph}|}{|Z|}=\frac{219.4}{\sqrt{10^2+5^2}}\approx\frac{219.4}{11.18}\approx19.6A

\]

因此，每个负载上的相电流有效值约为19.6A。

2.线电流的有效值：

线电流\(I_{line}\)大于相电流\(I_{ph}\)，因为：

\[

I_{line}=\sqrt{3}\timesI_{ph}\approx\sqrt{3}\times19.6\approx34.5A

\]

所以线电流的有效值约为34.5A。

3.电源的相电压和线电压的相位角差：

在星形连接中，电源的相电压和线电压之间的相位角差是30度，即：

\[

\Delta\phi=30^\circ

\]

4.若将负载从星形连接改为三角形连接：

当负载从星形连接改为三角形连接时，每个负载上的电压变为线电压，而每个负载上的电流会根据新的电压和阻抗计算。

电流\(I_{\Delta}\)为：

\[

I_{\Delta}=\frac{V_{line}}{Z}=\frac{380}{10+j5}

\]

同样，我们只关心有效值：

\[

|I_{\Delta}|=\frac{|V_{line}|}{|Z|}=\frac{380}{\sqrt{10^2+5^2}}\approx\frac{380}{11.18}\approx34.2A

\]

可以看到，与星形连接相比，三角形连接下每个负载上的电流大约为34.2A，比星形连接时的19.6A要大。

需要注意的是，由于电压的变化，电流的相位也会发生变化，但是这个习题没有要求计算相位角。