近世代数模拟试题(四套).doc

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（ ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有---------。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。 A、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统（G，*）、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ ） A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群　　B、不一定是群　 C、一定是群 　D、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得。 8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为---------。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。 10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。 2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？ 3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若G，*是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。 2、