9–5曲面和曲线方程.ppt

E-mail: xuxin@ahu.edu.cn §5 曲面及其方程 在前面，我们已知，空间平面对应于一 个三元一次方程. 反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面. 如果平面 ? 的方程是(1)，其含义是平面 ? 上任意动点(x, y, z)都是(1)的解. 而(1)的每一组解也对应于? 上某一点. (1) 定义1 设空间曲面S,及三元方程 F(x, y, z)=0有如下关系： （1）曲面 S 上任一点 M(x, y, z)，其坐标 x, y, z 都满足F(x, y, z)=0； （2）不在曲面S 上任一点 M(x, y, z) 的坐标不满 足方程F(x, y, z)=0； 则说明方程F(x, y, z)=0为曲面S的方程. 而曲面 S 为 F(x, y, z)=0的图形. 一 曲面方程 1、曲面方程的概念 F(x，y，z )?0 O x y z S M(x，y，z ) 研究曲面的两个基本问题： （1）已知曲面，如何求曲面的方程？ （2）已知方程，如何描绘其曲面？ O z x y M0 R M 例1 求以在M 0(x 0,y 0,z 0)球心, R为半径的球面的方程． 解 设M(x，y，z)是球面上的任一点， 那么 |M 0M|?R． 由于 | M 0M| 所以 ? R， 或 (x?x 0) 2?(y?y 0) 2?(z?z 0) 2?R 2． 这就是建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0) 半径为R的球面的方程． 特殊地，球心在原点O(0，0，0)、 半径为R的球面的方程为 x 2?y 2?z 2?R 2． 例2 设有点A(1,2,3)和B(2,?1,4)，求线段AB的垂直平 分面的方程． 解 由题意知道，所求的平面就是与A和B等距离的 点的几何轨迹． 设M(x，y，z)为所求平面上的任一点， 由于 | AM|?|BM|， 所以 等式两边平方，然后化简得 2x?6y?2z?7?0． 这就是线段AB的垂直平分面的方程． O z x y A B M 解 通过配方，原方程可以改写成 (x?1) 2?(y?2) 2?z 2?5． 例3 方程x 2?y 2?z 2?2x?4y?0表示怎样的曲面？ 这是一个球面方程，球心在点M 0(1，?2，0)、 比较：球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面 的方程 (x?x 0) 2?(y?y 0) 2?(z?z 0) 2?R 2． ， 一般地，设有三元二次方程 A x 2?A y 2?A z 2?D x ?E y?F z?G?0， 这个方程的特点是缺x y ，y z ，z x 各项，而且平方 项系数相同， 只要将方程经过配方就可以化成方程 (x?x 0) 2?(y?y 0) 2?(z?z 0) 2?R 2． 的形式， 它的图形就是一个球面． 空间曲线可以视为两区面的交线，设两曲面的 方程分别为： 则空间曲线L的一般方程： （*） 有如下关系： （1）曲线L上所有点的坐标都满足（*） （2）坐标满足（*）的所有点都在曲线L上。 则称方程（*）为曲面L的一般方程，而曲线L 称为方程组（*）对应的曲线。 例如： 表示空间中的一个圆 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面，其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间上： 1、柱面 二、常见曲面方程 类似圆柱面给出一般柱面的定义: O x y z C l 母线 准线 Γ 例4 设 ， 解：在柱面上任意取一点M(x,y,z),则M必在某条母 线上，它与 的交点为M1(x,y,0),从而有 另一方面：若M(x,y,z)满足 ，则M 必在经过M(x,y,0)的母线上，且z=0，故所求 柱面方程为 ，故曲面上任一点都满足 【注】此表达式中，缺z。 同理： 以 ， 为准线，母线分别平行 于y，z轴的柱面方程分别为： 其中： 代表母线平行于x轴的圆柱面； 代表母线平行于y轴的圆柱面； 下面介绍一般锥面定义： 其中定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线，构成准线的直线称为锥面的母线.(见下图) 2.锥面 特别，当准线为圆时就是我们常见的圆锥面. 0 x y z l 3.旋转曲面 总结： 例6 把椭圆 绕x轴旋转，所形成的旋转曲面的方程： ， 绕z轴旋转，所形成的旋转曲面的方程： 这两种曲面均称为旋转椭球面。 例7 把曲线 绕x轴旋转，所形成的旋转曲