线性代数教案 第八节课.doc

线性代数教案 章节题目 §4.线性方程组的解 课型 理论 教学目的 掌握线性方程组有解的充分必要条件. 掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法，掌握利用初等变换方程求解方程组. 重 点 利用初等变换求非齐次方程组的解. 难 点 关于n元线性方程组的相关定理. 参考书目 同上 教具 教学后记 教 学 过 程 备 注 复习上节内容。 §4线性方程组的解： 1. 给出n元线性方程组无解、有唯一解、无穷多解的充要条件. 2. 进行求解练习 3. 介绍关于矩阵方程有解的充分必要条件. 对书后较难题进行讲解. 作业：P80 12。（1） 13 15 §4 线性方程组的解 我们知道( n未知数m个方程的线性方程组 可以写成 Ax(b( 其中A((aij)( x((x1( x2( ( ( (( xn)T( b((b1( b2( ( ( (( bm)T( 矩阵B((A b)称为线性方程组的增广矩阵( 线性方程组如果有解( 就称它是相容的( 如果无解就称它不相容( 利用系数矩阵A和增广矩阵B((A b)的秩( 可以方便地讨论线性方程组是否有解以及有解时是否唯一等问题( 其结论是( 定理1 n元线性方程组Ax(b (1)无解的充分必要条件是R(A)(R(A( b)( (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)(R(A( b)(n( (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)(R(A( b)(n ( 注( Ax(b无解(R(A)(R(A( b)的几种等价叙述( ①Ax(b有解(R(A)(R(A( b)( ②Ax(b无解(R(A)(R(A( b)( R(A)(R(A( b)(Ax(b无解( ③R(A)(R(A( b)(Ax(b有解( R(A)(R(A( b)(Ax(b无解( 只需证明( R(A)(R(A( b)(Ax(b无解( R(A)(R(A( b)(n(Ax(b有唯一解( R(A)(R(A( b)(n(Ax(b有无限多解( 定理1还可叙述为( 线性方程组Ax(b有解的充分必要条件是R(A)(R(A( b)( 在有解的情况下( 若如R(A)(R(A( b)(n( 则有唯一解( 如果R(A)(R(A( b)(n( 则有无限多解( 证明 只需证明条件的充分性( 因为(1)、(2)、(3)中条件的必要性依次是(2)(3)、(1)(3)、(1)(2)中条件的充分性的逆否命题( 设R(A)(r( 为叙述方便( 不妨设B((A( b)的行最简形为 ( (1)若R(A)(R(B)( 则中的dr(1(1( 于是的第r(1行对应矛盾方程0(1( 故方程Ax(b无解( (2)若R(A)(R(A( b)(n( 则中的dr(1(0(或dr(1不出现)( 且bij都不出现( 于是对应方程组 ( 故方程Ax(b有唯一解( (3)若R(A)(R(A( b)(n( 则中的dr(1(0(或dr(1不出现)( 对应方程组 令自由未知数xr(1(c1( ( ( (( xn(cn(r( 即得方程Ax(b的含n(r个参数的解( 由于参数可任意取值( 故方程Ax(b有无限多个解( 方程Ax(b的含参数的解称为方程Ax(b的通解( 注( Ax(b无解(R(A)(R(A( b)的几种等价叙述( ①Ax(b有解(R(A)(R(A( b)( ②Ax(b无解(R(A)(R(A( b)( R(A)(R(A( b)(Ax(b无解( ③R(A)(R(A( b)(Ax(b有解( R(A)(R(A( b)(Ax(b无解( 只需证明( R(A)(R(A( b)(Ax(b无解( R(A)(R(A( b)(n(Ax(b有唯一解( R(A)(R(A( b)(n(Ax(b有无限多解( R(A)(R(A( b)(Ax(b无解的证明( 若R(A)(r(R(A( b)( 则B=(A( b)的行最简形必具有如下形式 ( 于是B0的第r(1行对应矛盾方程0(1( 故方程Ax(b无解( R(A)(R(A( b)(n(Ax(b有唯一解的证明( 若R(A)(R(A( b)(n( 则B=(A( b)的行最简形必具有如下形式 ( B0对应方程组为 ( 故方程Ax(b有唯一解( R(A)(R(A( b)(n(Ax(b有无限多解的证明( 若R(A)(R(A( b)=r(n( 则B=(A( b)的行最简形必具有如下形式 ( B0对应