高中数学函数定义域的求法.doc
函数定义域的求法
函数的定义域是函数三要素之一,是指函数式中自变量的取值范围。高考中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现,有时也出现在大题中作为其中一问。以考查对数和根号两个知识点居多。
求函数的定义域的根本方法有以下几种:
1、函数的解析式,假设未加特殊说明,那么定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况:
分式中的分母不为零;
偶次方根下的数〔或式〕大于或等于零;
指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
正切函数
余切函数
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。
例1〔2000上海〕函数的定义域为。
分析:对数式的真数大于零。
解:依题意知:
即
解之,得
∴函数的定义域为
点评:对数式的真数为,本来需要考虑分母,但由于已包含的情况,因此不再列出。
2、代入法求抽象函数的定义域。
的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围,即为的定义域。
例2假设函数的定义域为,那么的定义域为。
分析:由函数的定义域为可知:;所以中有。
解:依题意知:
解之,得
∴的定义域为
点评:对数式的真数为,本来需要考虑,但由于已包含的情况,因此不再列出。
3、应用题中的定义域除了要使解析式有意义外,还需考虑实际上的有效范围。
实际上的有效范围,即实际问题要有意义,一般来说有以下几中常见情况:
〔1〕面积问题中,要考虑局部的面积小于整体的面积;
〔2〕销售问题中,要考虑日期只能是自然数,价格不能小于0也不能大于题设中规定的值〔有的题没有规定〕;
〔3〕生产问题中,要考虑日期、月份、年份等只能是自然数,增长率要满足题设;
〔4〕路程问题中,要考虑路程的范围。
例3、(2004上海)某单位用木料制作如下图的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm2.问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?
分析:总面积为,由于,于是,即。又,∴的取值范围是。
解:由题意得
xy+x2=8,∴y==(0x4).
于是,框架用料长度为
l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.
当(+)x=,即x=8-4时等号成立.
此时,x≈2.343,y=2≈2.828.
故当x为2.343m,y为2.828m时,用料最省.
点评:在实际应用、物理、自然科学等问题中常常涉及到反映两个变量函数关系的问题,通过建立函数关系式,利用函数的性质来解决问题,这是函数知识应用的一个重要方面,也是高考常考的一个题型。
稳固练习
1、〔2002上海春〕函数的定义域为。
2、〔2004全国文〕函数y=的定义域是____。
3、〔2004全国理〕函数的定义域为〔〕
〔A〕〔B〕
〔C〕〔D〕
4、〔2004湖南文〕函数的定义域为〔〕
ABCD
5、〔2004重庆〕函数的定义域为〔〕
ABCD
6、假设函数的定义域为,那么的定义域为。
7、假设函数的定义域为,那么的定义域为。
8、(2004上海)记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a1)的定义域为B.
(1)求A;
(2)假设BA,求实数a的取值范围.
9、的定义域为R,求实数a的取值范围。
10、〔2004全国〕某村方案建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保存宽的通道,没前侧内墙保存3的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是多少?
参考答案:1、2、3、A4、D5、D6、
7、假设,那么;假设,那么;假设,那么不存在,此时函数也不存在。
8、解:(1)2-≥0,得≥0,x-1或x≥1
即A=(-∞,-1)∪[1,+∞)
(2)由(x-a-1)(2a-x)0,得(x-a-1)(x-2a)0.
∵a1,∴a+12a,∴B=(2a,a+1).
∵BA,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2,而a1,
∴≤a1或a≤-2,故当BA时,实数a的取值范围是
(-∞,-2)∪[,1]
9、
1