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函数定义域的求法

函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。高考中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在大题中作为其中一问。以考查对数和根号两个知识点居多。

求函数的定义域的根本方法有以下几种：

1、函数的解析式，假设未加特殊说明，那么定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数〔或式〕大于或等于零；

指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数

余切函数

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

例1〔2000上海〕函数的定义域为。

分析：对数式的真数大于零。

解：依题意知：

即

解之，得

∴函数的定义域为

点评：对数式的真数为，本来需要考虑分母，但由于已包含的情况，因此不再列出。

2、代入法求抽象函数的定义域。

的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。

例2假设函数的定义域为，那么的定义域为。

分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。

解：依题意知：

解之，得

∴的定义域为

点评：对数式的真数为，本来需要考虑，但由于已包含的情况，因此不再列出。

3、应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。

实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：

〔1〕面积问题中，要考虑局部的面积小于整体的面积；

〔2〕销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值〔有的题没有规定〕；

〔3〕生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；

〔4〕路程问题中，要考虑路程的范围。

例3、(2004上海)某单位用木料制作如下图的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm2.问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?

分析：总面积为，由于，于是，即。又，∴的取值范围是。

解：由题意得

xy+x2=8,∴y==(0x4).

于是,框架用料长度为

l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.

当(+)x=,即x=8－4时等号成立.

此时,x≈2.343,y=2≈2.828.

故当x为2.343m,y为2.828m时,用料最省.

点评：在实际应用、物理、自然科学等问题中常常涉及到反映两个变量函数关系的问题，通过建立函数关系式，利用函数的性质来解决问题，这是函数知识应用的一个重要方面，也是高考常考的一个题型。

稳固练习

1、〔2002上海春〕函数的定义域为。

2、〔2004全国文〕函数y＝的定义域是＿＿＿＿。

3、〔2004全国理〕函数的定义域为〔〕

〔A〕〔B〕

〔C〕〔D〕

4、〔2004湖南文〕函数的定义域为〔〕

ABCD

5、〔2004重庆〕函数的定义域为〔〕

ABCD

6、假设函数的定义域为，那么的定义域为。

7、假设函数的定义域为，那么的定义域为。

8、(2004上海)记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a1)的定义域为B.

(1)求A；

(2)假设BA,求实数a的取值范围.

9、的定义域为R，求实数a的取值范围。

10、〔2004全国〕某村方案建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保存宽的通道，没前侧内墙保存3的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？

参考答案：1、2、3、A4、D5、D6、

7、假设，那么；假设，那么；假设，那么不存在，此时函数也不存在。

8、解：(1)2－≥0,得≥0,x－1或x≥1

即A=(－∞,－1)∪[1,+∞)

(2)由(x－a－1)(2a－x)0,得(x－a－1)(x－2a)0.

∵a1,∴a+12a,∴B=(2a,a+1).

∵BA,∴2a≥1或a+1≤－1,即a≥或a≤－2,而a1,

∴≤a1或a≤－2,故当BA时,实数a的取值范围是

(－∞,－2)∪[,1]

9、

1