2018年变分原理与变分法.doc

变分原理与变分法 　　第一章 变分原理与变分法 　　　　1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 　　一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 　　昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 　　对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 　　变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples: 　　① 光线最短路径传播； 　　② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron）； ③ 　　　　Summary: 实际上光的传播遵循最小能量原理； 　　在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 　　二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 　　法），是计算泛函驻值的数学理论 　　　　AE+EBAC+CB 　　数学上的泛函定义 　　定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 　　的（映射）关系 　　特征描述法：{ J:X?D→R|J(x)=r∈R} Examples: 　　① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 　　n 　　‖A‖1 = max∑aij ；A∞=max∑aij；A2=(∑∑aij) 　　nnn 　　2 　　j 　　i=1 　　i 　　j=1j=1i=1 　　② 函数的积分： 函数空间数域 　　J=?fn(x)dx 　　a 　　b 　　fn?D 　　Note: 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 　　Discussion： 　　① 判定下列那些是泛函： 　　　　+∞?f(x,y) 　　f=maxf(x)； ； 3x+5y=2； ?δ(x-x0)f(x)dx=f(x0) 　　-∞aAB的悬索，单位长的 　　质量为m。假设绳索的长度是不变的，并忽略绳索的弯曲刚度，把此绳索的两端挂在A，B两点，求在平衡状态下绳索的形状。 要求：列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。 提示：绳索在平衡状态下，其势能应为最小值。 　　1.2 变分法（泛函驻值的计算方法） 　　● 关于计算固体力学中的泛函、泛函极值的提法 　　① 这里所研究的泛函一般用积分显式表达，并不等于所有泛函都能用显式积分表达。 　　② 所要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定区域内的函数及其导数（或偏导数）的积分形式，即： a. ∏1= b. ∏2= 　　?aF(f(x),f(x),f(x);x)dx 　　Ω 　　b 　　??F(f(x,y),fx(x,y),fy(x,y);x,y)dxdy 　　c. 泛函中的可变化函数称为自变函数，或称宗量（argument），x或y仅 　　是积分变量，是被积函数的定义域。（被积函数是复合函数概念的推广） 　　③ 要说清楚一个泛函的极值问题，应注意： a. 应把泛函本身讲清楚（即写出它的形式）； b. 还必须讲明白自变函数的性质，如： 　　- 独立的自变函数的个数（导函数并不独立）； - 每个自变函数定义的区间/区域； 　　- 这些自变函数应满足的条件（如：边界条件及其受约束的条件等）。 c. 除了个别特殊情况外，一般情况下增加一个条件会使泛函极值及相应 　　的自变函数变化性质发生变化。如：极小值可能变大；极大值可能变小；非极值的驻值可能成为极值。 　　● 　　若干背景知识 　　① 泛函的驻值问题可以转化为等价的微分方程问题，变分法的理论计算就 　　是完成这类工作。本章内容沿袭此方法，是要把问题的理论基础讲明确。 　　② 从近似解的角度出发，直接求解泛函的驻值，比解微分方程更加方便， 　　也更为实用。特别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性（有限元的思想基础）。 　　③ 经Euler,Lagrange,Dirichlet,Hilbert,Bernoulli等数学先驱的卓越工作， 　　完成了①的系统方法。 　　④ 但把微分方程问题转换为泛函问题还很不成熟。在物理、力学中，即先猜想一个泛函的驻值问题，再校对是否与原微分方程问题等价。 ⑤ 泛函驻值的计算（数值）先驱工作中以Ritz,Galerkin,Treft著名。 　　　　关于变分法的一个预备定理 有： 　　若f(x)在[a,b]上连续，若对任意满足 ?(a)= ?(b)=0 的连续函数?(x),都 　　　　?af(x)?(x)dx=0 　　b 　　则 f(x)在[a,b]上处处为零。 　　反证法：设x0为[a,b]中的点，在x0点f(x0)≠0，可取f(x0)0, 　　∵ f(x)在区间上连续，必存在x0的一个充分小邻域上f(x)0, x0