弹性力学教学课件第10章 能量原理和变分法.pptx

东莞理工学院zwwps@126.com制作:张伟伟弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12

能量原理和变分法Theenergyprincipleandthemethodofvariation弹性体的应变能和应变余能01虚功原理与最小势能原理01位移变分法01平面问题的位移变分法01最小余能原理01应力变分法01平面问题的应力变分法01

弹性体的形变势能01Elasticspotentialenergyofthedeformablebody

基本概念01材料在单向拉伸作用下的能量上式称为应变能密度。若以应力为自变量，可求应变余能密度，如若材料为线弹性材料时，有：若弹性体只在两个互相垂直方向有剪切应力，且切应变时，则应变能为每单位体积内具有的形变势能为:

02基本概念材料在三向应力状态下的应变能根据能量守恒，叠加各情况后，得应变能密度一般情况下，弹性体受力并不均匀，应变能密度也不均匀，为坐标得函数，所以，弹性体所储备的应变能为利用物理方程转变为应变分量来表示，得

基本概念02材料在三向应力状态下的应变能02

基本概念02材料在三向应力状态下的应变能02利用几何方程，把应变能用位移表示：

基本概念02材料在三向应力状态下的应变余能02应变余能密度在应力-应变关系为线性时同样是考虑应变余能密度为位置坐标的函数，则整个弹性体的应变余能为考虑物理方程，将所有的应变均用应力表示，得应变余能密度的表达式整个弹性体的应变余能表达式

基本概念02微分关系依据应变能与应力、应变的积分关系，可得：对于余能，类似可得：

虚功原理与最小势能原理02Virtualworkprincipleandminimumpotentialenergyprinciple

02虚功原理01位移：外力：体力面力将上式进行归项后，得设有一弹性体在一定的外力作用下处于平衡状态，并发生虚位移：外力在虚位移上做功为虚功，设无能量损失，全部转换为应变能，有——此即为位移变分方程或者拉格朗日变分方程对于弹性体而言，虚位移、、不是常数，而是位置的函数，因此位移变分方程是以位移函数为自变量的泛函。

02变分方程的意义02如图所示的简支梁，梁在一定的载荷下挠曲线方程如图中实线所示（简便起见，只考虑其y方向位移），位移设为。假定位移产生改变，变为，位移变分为位移变分方程简化为相当于当自变量函数(挠曲线)改变时应变能的变化量，这很像函数的微分关系。微分和变分的对比“微分”的概念移植到泛函中来，仍以图示的简支梁为例，将泛函中自变量函数（挠曲线函数）的“增量”记为，称其为位移变分；应变能函数的增量为，称其为应变能的变分。

02虚位移原理03微分、积分、变分运算可交换次序将应变能视为应变的变分（相当于求多元函数的全导数）：代入(10-8)———虚位移原理，也称为虚功原理或虚功方程。方程左边为应力在虚应变上所做的虚功。虚位移原理表示：在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在与该虚位移相应的虚应变上所做的虚功。由于外力的大小和方向可以当作保持不变，体力和面力分量可作为常数写到变分算子内，有——弹性体的总势能

02虚位移原理03在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。最小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值。如果考虑二阶变分，则得到对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。又由于弹性力学的解具有唯一性，总势能的极小值就是最小值。因此，上述原理称为最小势能原理。

02位移变分方程03微分、积分、变分运算可交换次序将应变能视为应变的变分（相当于求多元函数的全导数）：(10-10)?按照几何方程，写出应变分量的变分为式(10-10)的右边共有9项，现在来对每一项进行分部积分，以第一项为例，有式(10-10)右边的9项都做分部积分后，共得18项?(10-11)

02位移变分方程03将式(10-11)代入(10-7),并使用高斯积分定理，有(10-11)(10-7)代入高斯积分定理:若P、Q、R为三个函数，它们的体积积分与面积分满足关