第十二章反射.doc

PAGE 1 PAGE 102 第十二章 反射 本章如同第十一章，我們再舉一例來說明Script的設計。第12.1節將介紹產生折射script 的背景。第12.2節將介紹如何產生反射script。第12.3節將介紹如何使用反射script。 第12.1節 產生反射script的背景 設有一區域被x軸、y軸與曲線y = 1/x所圍，如圖12.1所示。設有一粒子自原點A，往C點射去。粒子碰到邊界就會反射出去，即入射角等於反射角。又假設原點A為一圓，粒子碰到原點A，就會照原路反射回去。 圖12.1 如圖12.1所示，粒子自原點A往C點射去，先碰到F點，接著碰到點H、L、N、R、T、X與Z。 如果∠CAB = 30o，則上圖中的線段FH 會垂直於x軸。那麼，粒子碰到x軸於H點之後，就會反彈折回A點。即粒子會在點A、F與H這3點來回移動。 我們的問題是： 粒子初始角度為多少時，粒子射出去之後又會折回原點? 又會有多少種這類角度? 能否證明，粒子射出去的角度小於30o，射出去之後其最遠可達處為有界限? 是否一定會折回(不必照原路線) ? 由於圖形對稱於直線y = x，我們討論粒子初始角≦45o 即可。我們很容易得到初始角為45o 與30o，粒子射出去之後又會折回原點。但是對於其他初始角，因計算太繁，就不容易求得。因此，我們想利用Script 來自動畫出折射點，如圖12.1所示。其好處是：我們可以輸入折射的次數，同時移動C點就可以改變初始角來觀察其結果。 我們至少觀察到，如果初始角約等於22o 、18o 與16o，粒子會折回原點。同時，當粒子射出去的角度小於30o，射出去之後其最遠可達處應為有界。 第12.2節 產生反射script 接下來，我們試著來產生一反射script，可以用來產生如圖12.1的圖形。其步驟如下： 步驟1：選File/New Sketch 產生一新畫圖的畫面。選File/ New Script產生一新 script 畫面。挑Graph/Create Axes顯示座標軸。於畫面上畫上一自由點C。於script 畫面按下REC，如圖12.2。 圖12.2 步驟2：點選A與C兩點，連上一射線，當我們產生一物件時，即為一射線j，於Steps區顯示出： 1. Let[j]=Ray between Point A and Point C. 其Parents為點A與C兩點，於Given區就會顯示出： Point A Point C Sketchpad 會自動偵測基本需要的物件加在Given區，這也視產生物件的Parents(Grand…Parents)是否已出現在Given區。產生射線j的Parents點A與點C原本未出現在Given區，既然要產生射線j，當然，點A與點C必須出現在Given區，如圖11.3所示。 接下來我們想要畫上函數 y = 1/x 的函數圖形。此步驟如果不含在script中，那麼，使用此script之前，必須自己畫上此圖。 圖11.3 步驟3：先點選x軸，再選Construct/Point On Object產生一點D。此步驟我們於畫面產生了一點D，同時，於Given: 區顯示出： Point A Point C Straight Object x 接下來Steps: 區含 Let[j]=Ray between Point A and Point C. Let[D]=Random point on Staight Object x. 產生D點的Parent，即x軸，會出現在Given區，如圖11.4所示。 圖11.4 步驟4：點選D點，並選Measure/Coordinate。產生文字方塊 D:(0.68, 0.00)，其標題為m1。 於Steps區也會增加 3.Let[m1]=Coordinate of Point[D]. 由D點的x座標，來產生E點，使得E點為曲線 y = 1/x上的一點，同時E點的x座標等於D點的x座標。 點選E點為Trace Point，並且畫出E點的軌跡，如圖12.5所示。 圖12.5 步驟5：此步驟將利用A點的座標與射線j的斜率來產生射線j與曲線y = 1/x的交點F。因曲線y = 1/x是一衍生物，既不是直線，也不是圓，系統無法計算此二物件的交點。既然我們無法利用 Construct/Point At Intersection來求得交點，只好自己來計算。 直線j的方程式為 y ? 0 = m j (x ?xA) 與曲線y = 1/x交點的x座標為0.5*( xA +( xA ^2+4/ m j)^0.5)。 點選A: (0.00, 0.00)與Slope j = 0.36 並啟動計算器來計算 0.5*( xA +( xA2+4/ m j) 0.5)與其倒數 由交點