同济大学(高等数学)第一章函数极限.doc

第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母、、、表示集合，用小写字母、、、表示集合的元素. 如果是集合的元素，则表示为，读作“属于”；如果不是集合的元素，则表示为，读作“不属于”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合，可表示成 ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合所有元素的共同特征为，则集合可表示为 . 例如，集合是不等式的解集，就可以表示为 . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作，即 ； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作，即 ； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作，即 ； （4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作，即 ； （5）全体实数组成的集合称为实数集，记作. 1.1.2 区间与邻域 在初等数学中，常见的在数集是区间.设，且，则 （1）开区间 ； （2）半开半闭区间 ，； （3）闭区间 ； （4）无穷区间 ， ，， ，. 以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 图 1-1 在微积分的概念中，有时需要考虑由某点附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念. 定义1 设为某个正数，称开区间为点的邻域，简称为点的邻域，记作，即 . 在此，点称为邻域的中心，称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）： 图1-2 另外，点的邻域去掉中心后，称为点的去心邻域，记作，即 , 图形表示为（图1-3）： 图1-3 其中称为点的左邻域，称为点的右邻域. 1.2函数的概念 1.2.1函数的定义 定义2 设、是两个变量，是给定的数集，如果对于每个，通过对应法则，有唯一确定的与之对应，则称为是的函数，记作.其中为自变量，为因变量，为定义域,函数值的全体成为函数的值域，记作，即 . 函数的记号是可以任意选取的, 除了用 外, 还可用“”、“”、“”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号. 函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素. 例1 求函数的定义域. 解 的定义区间满足：；的定义区间满足：，解得. 这两个函数定义区间的公共部分是 . 所以，所求函数定义域为. 例2 判断下列各组函数是否相同. （1），； （2），； （3），. 解 （1）的定义域为，的定义域为.两个函数定义域不同，所以和不相同. （2）和的定义域为一切实数.,所以和是相同函数. （3），,故两者对应关系不一致，所以和不相同. 函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明. 函数举例: 例3 函数，函数为符号函数，定义域为，值域. 如图1-4： 图1-4 例4 函数，此函数为取整函数，定义域为， 设为任意实数, 不超过的最大整数，值域. 如图1-5： 图1-5 特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量通过对于法则有确定的值与之对应，但这个值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数. 1.2.2 函数的性质 设函数，定义域为，. （1）函数的有界性 定义3 若