江西省研究生数学建模竞赛一等奖优秀论文高山滑雪的建模问题详解.doc

高山滑雪的建模问题 153组A题 摘 要 高山滑雪是一类双板滑雪项目。在该项比赛中运动员利用势能从山顶滑行到山下的终点，用时少的为优胜者。影响运动员滑行时间的因素有很多，除运动员的滑行技巧外，运动员的体重，滑雪板的长度和类型都扮演着重要的角色。因此对这些影响因素进行分析，对提高滑行速度，降低滑行时间具有一定的指导意义。本文在忽略运动员技巧等因素，简化滑行过程，针对硬雪道和宣雪道直滑行中不同影响因素，着重分析了雪道对滑雪板的作用力，采用相关文献中力的参数和表达式，建立了相应的模型求解本文提出的问题。 铰链模型中，雪道对滑雪板的作用处理为一铰链链接点力和转矩的平衡，用以问题一的求解。平行刚性板模型中假设滑板为中部和尾部与滑道相平行的刚体，滑板中部和尾部所受的力包括与滑道垂直的浸入力和与滑板平行的滑动摩擦力，滑板前部所受力还包括了滑板与雪撞击产生的冲击力。对整个滑板和运动员受力建立方程，得出了滑板中部长度对各力尤其是冲击力具有一定影响的结论。该模型适用于问题二的求解。在宣雪道上的滑行，采用滑雪板-雪地模型进行分析，根据动量、能量守恒方程求解问题三。问题四中，考虑了自行车在运动过程中，地面对轮胎各点作用的力与该点到质心的距离大小有关，以滚动摩擦因数为探讨对象进行建模分析。 结果表明，（1）体重越大的滑雪运动员达到终点最终速度更大，大小为。（2）质量为60的运动员使用板长165cm和185cm滑雪板到达终点的速度为和。（3）相同质量的运动员使用全地域滑雪板能获得更大的速度（4）体重越大的自行车运动员达到终点最终速度更大，大小为。 关键词：几何参数 摩擦 受力分析 速度 摘 要 0 一.问题重述 2 二.问题分析 4 三.模型假设 7 四.符号说明 8 五．模型的建立与求解 11 1.滑雪板在斜面上的运动模型 11 2.雪地的几何描述 11 3.滑雪板的几何描述 11 4.建立模型 12 问题1的分析 12 问题2的分析 15 问题3的分析 17 问题4的分析 19 六.模型的评价 21 七．参考文献 23 八．附 录 24 一.问题重述 高山滑雪是采用双滑雪板的一种冬季奥运会比赛项目。高山滑雪可分为实用滑雪、娱乐滑雪、竞技滑雪和探险滑雪四大类。其中娱乐滑雪与竞技滑雪人数占有高山滑雪人数的绝大部分。高山滑雪回转类项目的特点是:滑行距离短、速度相对慢、落差小、旗门多,对滑行尤其是转弯技术要求高。而在高山滑雪急降类项目中速度往往是决定胜负的关键。而滑雪的比赛路线称为机压雪道或者硬雪道，是用专业的压雪机反复碾压人工造雪或者天然雪雪面形成的，压好后，雪的厚度可达半米以上，可以认为在运动员滑行时雪道没有明显的变形。然而高山滑雪急速下降类项目中速度往往是决定胜负的关键，分析影响高山滑雪急降类项目滑行阻力的因素，以期对高山滑雪的训练、比赛及其运动器械的改进和完善提供参考。 在滑雪运动员下滑的过程中,影响人体运动的力有很多种,主要可分为内力与外力:内力主要是指在神经系统的指挥下,以骨骼为杠杆,以关节为枢纽,以肌肉的收缩与舒张为动力;而外力一般是指重力、摩擦力、空气阻力、反作用力、向心力与离心力。影响滑雪板的里有冲击力、侵入力、摩擦力等。我们需要在建立数学模型之前，要了解这些力各自的定义什么，怎样作用在滑雪板或者人上，作用之后具体可能会产生什么样的影响。 本文需要研究的是高山滑雪和日常生活中的一些简单的问题，分别考虑下面四个问题，都是两个运动员在仅有一个不同条件下同时出发滑下的，建模分析看谁先到终点，并且大致估算最后的二者速度： 问题1.不同体重，例如60公斤和80公斤，相同的滑雪板，硬雪道； 问题2.相同体重，腰宽一样，长度不同的滑雪板，例如长度一个是165厘米，另一个是185厘米，硬雪道； 问题3.相同体重，一个用竞技滑雪板、一个用全地域滑雪板长度都是180厘米，宣雪道； 问题4.不同体重的两名运动员各骑一辆没有链条的自行车，初速度同为1米/秒的条件下从柏油路面大约5度的坡上骑下，谁先到达坡底终点。 这四个问题有一个共同点就是可变量是一个，其他的量不变。为了能够最精准的计算出运动员的速度和时间，那应该考虑哪些权衡因素，从而设计并简化出比较优化的运动模型。确定一个运动过程模型，使得运动员能够得到较精确的终点时间和速度。 制定运动过程模型时要优化其他次要影响因素，如在硬雪道上运动员滑行时雪道没有明显的变形和滑雪板的形变等。综合各种因素，找出最主要的因素，建立最优的运动过程计算模型。 初步了解到在硬雪道上滑行时，在考虑空气阻力，摩擦力，自身重力，侵入力，压力等的影响，把人简化成一个刚体的模型，忽略了滑雪板的形变和部分雪融化后形成的液体润滑作用。这样在硬雪道上，本身滑雪板