理论力学之动量矩定理详解.ppt

初瞬时： x A mAg FN aA FAy FAx C B A mcg acAt aA F?Ay F?Ax 研究杆AB 例题起重装置由匀质鼓轮D（半径为R，重为W1）及均质梁AB（长l=4R，重W2=W1）组成，鼓轮通过电机C（质量不计）安装在梁的中点，被提升的重物E重 。电机通电后的驱动力矩为M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的约束力FNA及FNB。 O B A C D E 1. 求加速度a。 解： 考虑鼓轮D，重物E及与鼓轮固结的电机转子所组成的系统，M为电机定子作用在转子的驱动力矩，对固定点O应用动量矩定理得 O B A C D E O ? W M O D E W1 FOx FOy 2. 考虑整个系统，注意驱动力矩为M系统内力。对点B应用动量矩定理得 O A B ? W W2 FNA A C D E FNB W1 应用质心运动定理得 例 均质细杆AB，长l，重P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦，如图所示。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下，求杆在任意位置的角加速度(q的函数)。 解 以杆为研究对象，在任意位置的受力如图所示。其质心的坐标为: 质心的加速度为： 根据杆的平面运动微分方程 联立上面3个微分方程,有: 若还要求解任一瞬时的角速度,则可进一步积分: 本章小结 1．动量矩的计算 2．质点系动量矩定理 平动刚体对固定点的动量矩 LO = ∑mi rC ×vC=rC× ∑mi vC 定轴转动刚体对转轴的动量矩 质点系对固定点O的动量矩的另一种表示 3．刚体绕定轴转动微分方程 4．质点系相对质心动量矩定理 5．刚体平面运动微分方程 2. 质点系动量矩定理 质点系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩。 A 对固定点 质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系的所有力对于同一轴之矩的代数和。 B 固定轴 (将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和对轴动量矩公式可得)： 质点系对定点的动量矩定理在三个坐标轴的投影方程独立 1. 如果∑MO (Fi（e) ) ? 0，则LO = 常矢量. 2. 如果∑Mz (F（e）) ? 0，则Lz = 常量。 对定点的动量矩定理 对定轴的动量矩定理 结 论 如作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴)的主矩始终等于零,则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变。这就是质点系的动量矩守恒定理. 3. 质点系动量矩守恒定理 实例之一： 爬绳比赛的力学分析 初始静止 Lz0=0 例题 如图所示，在静止的水平匀质圆盘上，一人沿盘边缘由静止开始相对盘以速度u行走，设人质量为m2，盘的质量为m1 ，盘半径r，摩擦不计。求盘的角速度。 u A B z r O ω 解：以人和盘为研究对象。 FBz m2g FBx m1g FBy FAx FAy 初始静止 Lz0=0 例题 匀质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。 O P W 解：以整个系统为研究对象。 ? ? v O P W aP aP = R? 实例之一： 花样跳水与花样滑冰 实例之二： 直升机尾浆的平衡作用 实例之三： 航天器姿态控制的实现 卫 星 消 旋 §3-3 刚体绕定轴转动微分方程 根据质点系动量矩定理有 绕定轴转动刚体的动量矩为： 思考： 图示三种情况下（同一圆轮），在该瞬时圆轮转动的角加速度是否相同？大小顺序？（a）是用不计重量的铁条将重为P 的物块焊在圆轮上；（b）是用不计重量的绳索将重为P 的物块悬挂在同一圆轮上；（c）是在与圆轮连接的不计重量的绳索作用大小为P 的力。 例题 两个鼓轮固连在一起，其总质量是m，对水平转轴O的转动惯量是JO。鼓轮的半径是r1 和r2 。绳端悬挂的重物A和B质量分别是m1和m2(图a),且m1 m2 。试求鼓轮的角加速度。 (a) O A B r1 r2 取鼓轮，重物A,B和绳索为研究对象。对鼓轮的转轴z(垂直于图面)应用动量矩定理 O A B r1 r2 v1 ? α v2 m1g m0g m2g F0 y 考虑到 v1 = r1 ? ，v2 = r2 ? ，则得 从而求出鼓轮的角加速度 方向为逆钟向。 将式(1)和(2)代入方程 O A B r1 r2 v1 ? α v2 m1g m0g m2g F0 y 解: 由 ,得 研究系统，受力分析如图， 例已知：R,J,M,?,m, 小车不计摩擦.系统初始静止.求:上升过程小车的加速度。 例题 已知电机产生的转矩MO 与其角速度ω 的关系为