立体几何的外接球问题.doc

百思得教育 - PAGE 9 - 立体几何中的外接球问题 概 述 ①长方形的外接圆圆心为对角线的中点，为长方形的长、宽）。长方体的外接球球心为体对角线的中点，为长方体的长、宽、高）。 ②三角形的外接圆圆心是底边的中垂线的交点，外接圆半径可由，余弦定理求得；等边三角形的外心是高的三等分点（靠底边）；直角三角形的外心是斜边中点。 ③三棱锥或其它几何体，其外接球球心一定在过面的外心且与该面垂直的垂线上。 ④过球心的截面截得的圆是大圆。 ⑤勾股定理、正弦定理、余弦定理、射影定理、面积法、体积法等平面几何性质灵活应用。 1.圆柱、直棱柱、一侧棱垂直底面的棱锥 设底面外接圆半径为，高为，则外接球半径，见截面图中。 2、圆锥、各侧棱都相等的棱锥（包括正三棱锥、正四棱锥） 设底面外接圆半径为，高为，则外接球半径，截面图中勾股定理解得。 。 3、等腰四面体 补成长、宽、高分别为的长方体，则 外接球半径。 注：（1）棱长为的正四面体外接球半径； （2）从某顶点出发，三棱长为的直角三棱锥外接球半径。 补体法：（1）正四面体；（2）等腰四面体；（3）直角三棱锥或其他。 4、有两个面互相垂直的三棱锥 设两垂直面的交线长为，两垂直面的外接圆半径分别为， 则外接球半径。 5、任意三棱锥 已知两面外接圆半径分别为，两面外心到交线的距离分别为，两面的交线长为，已知或可求二面角， ， ，。 附：大圆法（正四棱锥或准四棱锥） 例 题 精 讲 1.双直角共斜边三棱锥 【例1】如图，三棱锥中， ，求三棱锥外接球半径。 【解析】由题可知：， 所以球心为线段的中点，。 2.双直角邻邻同侧型三棱锥 【例2】如图，三棱锥中，， ，求三棱锥外接球半径。 【解析】由题可知：， 过的外心作平面的垂线，高为的一半 的外接圆半径， 外接球半径为。 3.含直二面角的三棱锥 【例3】如图，三棱锥中，， 平面平面，，求三棱锥外接球半径。 【解析】的外接圆即为大圆 。 【例4】如图，三棱锥中，， 平面平面，，求三棱锥外接球半径。 【解析】的外心为，半径为 的外心为，半径为 外接球半径。 【例5】如图，三棱锥中，是边长为的等边三角形， ，平面平面，，求三棱锥外接球半径。 【解析】过的中点作底面的高， 外接球半径为。 4．直角三棱锥 【例6】如图，三棱锥中，两两垂直， ，求三棱锥外接球半径。 【解析】补体法（长方体） 外接球半径为。 5、等腰四面体 【例7】如图，三棱锥中，，，求三棱锥外接球半径。 【解析】补体法（长方体），设长、宽、高分别为， 则 外接球半径为。 6、正三棱锥 【例8】如图，正三棱锥中，，，求三棱锥外接球半径。 7、双等腰共底三棱锥 【例9】如图，三棱锥中，， ，。 求三棱锥外接球半径。 8、一般三棱锥 【例10】如图，三棱锥中，， ，。 求三棱锥外接球半径。 【例11】如图，三棱锥中，， ，。 求三棱锥外接球半径。 练 习 1．某空间几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） 、 、 、 、 【解析】还原三视图成几何体， 。 2.在四面体中， 为等边三角形，二面角堨余弦值为， 则四面体的外接球表面积为 。 【解析】，。 3.如图，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为 。 【解析】为外接球直径， 。 4. 已知正四面体的棱长为，、分别是、上的点，过作平面， 使得、均与平行，且、到的距离分别为，则正四面体的外接球被所截得的圆的面积为（ ） 、 、 、 、 【解析】将正四面体补成一个棱长为6的正方体，则体心即外接球球心到平面的距离为1，外接球半径，截面圆半径，截面圆面积为，选。 5.在四棱锥中，底面为正方形，平面，且，若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ） 、 、 、 、 【解析】由题可知：平面，设，球的半径为，则，，，选。 6. 如图，是棱长为的正方体，是高为的正四棱锥， 若 、在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 、 、 、 、 【解析】球的半径即为的外接圆半径， ，球的表面积为，选。 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画的是某多面体的三视图， 则该多面体的外接球的表面积为 。 【解析】 侧面三角形外接圆半径为， 外接球半径 外接球表面积为。 8. 在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ） 、 、 、 、 【解析】等腰四面体，补成长宽高分别为的长方体，则， ，外接球表面积为。 9. 三棱锥中，两两垂直，且，求此三棱锥的外接球