空间点到直线的距离公式.doc

平面点到直线距离 点(x0, y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B) 空间点到平面距离 点(x0, y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C) 空间点到直线距离 点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）： (x-xl)/m=(y-yl)/n=(z-zl)/p=t。 (1) 式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。 空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。 设点(x0, y0, z0)到直线L的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有： (xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2) 式(2)可变形为： xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl. (3) 且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即： m*(x0-xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4) 把式(3)代入式(4)，可消去未知数“xc, yc, zc”，得到t的表达式： t=[m*(x0-xl)+n*(y0-yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5) 点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离： d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6) 其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。