特征值与特征向量.ppt

任意两个向量εi与εj都正交(i≠j)，称其两两正交.定义5.3.3设α，β是任意两个向量，若(α,β)=0则称向量α与β正交或垂直，记作α⊥β.显然，零向量与任意向量正交.n维初始单位向量组：定义5.3.4若n维向量组α1，α2，…，αs中任意两个向量都正交，且αj≠O，j=1,2,…,s.则称α1，α2，…，αs是正交向量组.定义5.3.5如果一个正交向量组又是单位向量组，则称其为单位正交向量组或标准正交向量组.标准正交向量组α1，α2，…，αs是标准正交向量组由定义知：3.正交向量组第31页，共46页，星期日，2025年，2月5日定理5.3.1正交向量组必是线性无关的向量组.若α1，α2，…，αs是正交向量组单位化则β1，β2，…，βs是标准正交向量组.则=0=0注：线性无关组未必是正交向量组.第32页，共46页，星期日，2025年，2月5日施密特(Schmidt)正交化方法——化线性无关组为正交向量组.施密特正交化方法:可以证明，正交第33页，共46页，星期日，2025年，2月5日关于特征值与特征向量第1页，共46页，星期日，2025年，2月5日定义5.1.1设A为n阶方阵,λ是一个数,若存在非零列向量x,使得Ax=λx（1）则称λ为A的一个特征值，非零向量x称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量，简称为A的特征向量. 一、矩阵的特征值与特征向量的定义与求法第一节矩阵的特征值与特征向量例如：=2λ第2页，共46页，星期日，2025年，2月5日为A的特征方程.齐次线性方程组矩阵A的对应于λ的特征向量就是方程组(3)或(2)的非零解.Ax=λx(1)λx-Ax=O(λI-A)x=O(2)(3)λI–A为A的特征矩阵,|λI-A|(λ的n次多项式)称为A的特征多项式.特征方程的根叫做A的特征根，即A的特征值.定义5.1.2第3页，共46页，星期日，2025年，2月5日总结：已知n阶方阵A，求A的特征值归结为求特征方程的根；求A的特征向量等价于求齐次线性方程组(λI-A)x=O的非零解.求矩阵A的特征值与特征向量的步骤：第一步，求A的特征多项式|λI-A|；第二步，令|λI-A|=0，得到A的n个特征值(重根按重数计)；第三步，对应于每个特征值λi，求方程组(λiI-A)x=O的非零解，即是矩阵A的对应于特征值λi的特征向量.第4页，共46页，星期日，2025年，2月5日解：矩阵A的特征多项式为例1-2-2-3-1令|λI-A|=0得A的特征值为：3I-A=1-1000-1令x3=1得基础解系.是属于λ1=3的一个特征向量.对应于特征值λ1=3的全部特征向量：第5页，共46页，星期日，2025年，2月5日令x3=1得方程组的基础解系为：-3I-A=是属于λ2=λ3=-3的一个特征向量.则对应于λ2=λ3=-3的全部特征向量为：c2v2=第6页，共46页，星期日，2025年，2月5日解：A的特征多项式：例2求A的特征值与特征向量.|λI-A|=令|λI-A|=0，得A的特征值：对于求方程组(I-A)x=O的非零解.I-A=0-11得基础解系为：对应于λ1=1的全部特征向量：第7页，共46页，星期日，2025年，2月5日对于求方程组(2I-A)x=O的非零解.2I-A=x1=-x2+x3同解方程组：令得到方程组的基础解系：每个都是A的特征向量.对应于λ2=λ3=2的全部特征向量：c1v21+c2v22其中，c1,c2不全为零.第8页，共46页，星期日，2025年，2月5日命题2证：命题1任一n阶方阵在复数域内都有n个特征根.若x是A的对应于特征值λ的特征向量，则kx(k≠0)也是A的对应于λ的特征向量；若x，y都是A的对应于特征值λ的特征向量，则非零线性组合k1x+k2y(k1,k2不全为零)也是A的对应于λ的特征向量；(kx≠0)所以，kx(k≠0)也是A的对应于λ的特征向量；因为k1,k2不全为零，所以所以，k1x+k2y(k1,k2不全为零)是A的对应于λ的特征向量.注：同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.简言之1