2015年中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题及答案 .doc

第六届中国东南地区数学奥林匹克第一天 （2009年7月28日　上午8：00－12：00）　江西·南昌1. 试求满足方程的所有整数对．2. 在凸五边形中，已知，且 四点共圆． 证明：四点共圆的充分必要条件是． 3. 设，； 求证： ． 4. 在一个圆周上给定十二个红点；求的最小值，使得存在以红点为顶点的个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边． 第六届中国东南地区数学奥林匹克第二天 （2009年7月29日　上午8：00－12：00）　江西·南昌 5．设的所有排列的集合为；，记 ，；求．（其中表示集合的元素个数） 6．已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可以作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆． 7． 设， 其中 ，且． 求的最大值和最小值． 8．在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整型五方连块？ 的所有整数对． （张鹏程供题） 解： 设整数对满足方程 …（1），将其看作 关于的一元二次方程，其判别式的值 应为一完全平方数； 若，则； 若，则可取，相应的值分别为和 ，它们皆不为平方数； 因此，仅当时，为完全平方数． 若，方程（1）化为， 解得或； 若，方程（1）化为 ，解得或． 综上可知，满足原方程的全部整数对为：． 2. 在凸五边形中，已知，且 四点共圆． 证明：四点共圆的充分必要条件是． （熊斌供题） 证明：必要性：若共圆，则由 ，得，，所以，故得； 充分性：记所共的圆为，若，则圆心在的中垂线上，设点关于的对称点为，则在上，且因，即，所以不共点，且≌，又由，知≌，因此， ≌，故由，得共圆，即点在上，也即点在上，从而共圆． 3. 设，； 求证： ． （唐立华供题） 证明：先证不能构成三角形的三边．因为 ， ． 所以 ()()() , 于是 ()()(), 故 ． 4. 在一个圆周上给定十二个红点；求的最小值，使得存在以红点为顶点的个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边． （陶平生供题） 解：设红点集为：，过点的弦有条，而任一个含顶点的三角形，恰含两条过点的弦，故这条过点的弦，至少要分布于个含顶点的三角形中； 同理知，过点的弦，也各要分布于个含顶点的三角形中，这样就需要个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重复计算了三次，因此至少需要个三角形． 再说明，下界可以被取到．不失一般性，考虑周长为的圆周，其十二等分点为红点，以红点为端点的弦共有条．若某弦所对的劣弧长为，就称该弦的刻度为；于是红端点的弦只有种刻度，其中，刻度为的弦各条，刻度为的弦共条； 如果刻度为（）的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一： 或者；或者； 于是红点三角形边长的刻度组只有如下种可能： ； 下面是刻度组的一种搭配：取型各六个，型四个；这时恰好得到条弦，且其中含刻度为的弦各条，刻度为的弦共条； 今构造如下：先作型的三角形各六个，型的三角形 三个，再用三个型的三角形来补充． 型六个：其顶点标号为：； 型六个：其顶点标号为：； 型六个：其顶点标号为：； 型三个：其顶点标号为：； 型三个：其顶点标号为：． （每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得）． 这样共得到个三角形，且满足本题条件，因此，的最小值为．  第六届中国东南地区数学奥林匹克试题解答 第天 5．设的所有排列的集合为；，记 ，；求．（其中表示集合的元素个数） （熊斌供题） 解：我们一般地证明，若，对于前个正整数的所有排列构成的集合，若，， 则． 下面用数学归纳法证明： ． 当时，由排序不等式知，集合中的最小元素是，最大元素是．又，， ， ， 所以，=共有11=个元素．因此，时命题成立． 假设命题在（）时成立；考虑命题在时的情况．对于的任一排列，恒取，得到的一个排列， 则．由归纳假设知，此时取遍区间 上所有整数． 再令，则 ， 再由归纳假设知，取遍区间 上的所有整数． 因为，所以，取遍区间 上的所有整数．即命题对也成立．由数学归纳法知，命题成立． 由于 ，从而，集合 的元素个数为．特别是，当时，． 6．已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆． （陶平生供题） 证：如图，设，分别是的外接圆和内切圆半径，延长交于，则，，延长交于；则，即； 过分别作的切线，在上，连，则平分，只要证，也与相切； 设，则是的中点，连，则 ，， ， 所以， 由于在角的平分线上，因此点是的内心， （这是由于，，而 ，所以，点是的内心）． 即弦与相切． 7．， 其中 ，且 ． 求的最大值和最小值． 当且仅当时等号成立. 因 … 由哥西不等式:，因为