第四章-整环里的因子分解.doc

第四章 整环里的因子分解 §4.1 不可约、素元、最大公因子 证明:不是任何元的真因子. 注 这里的是指整环的零元,“任何元”是指整环中的任何元. 证明 由于不能整除整环中的非零元,因此不是整环中的非零元的真因子.虽然整除,但与相伴,因此不是的真因子.所以不是整环中任何元的真因子. 2.找出Gauss整数环的所有单位. 解 假设,使得是中的单位,则存在,使得 , 从而,.由此可见,.所以就是中的所有单位. 3.证明:在Gauss整数环中,是不可约元,是可约元. 证明 显然,和既不是零元,也不是单位. 设,使得 . 于是 . 显然.因此或,从而,是单位或是单位.所以是不可约元. 由可知,和都是的真因子.所以是可约元. 4.设是整环,,直接证明: ～. 证明 由于是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),,. 因此 存在,使得,～. 5.设是整环的素元,(),证明:至少存在一个(),使. 证明 我们用数学归纳法来证明. 当时,根据素元的定义,我们的断言成立. 假设当()时,结论成立.当时,根据素元的定义,或.若不整除,则.于是,根据归纳假设,至少存在一个(),使.所以当时,我们的断言成立. 6.设整环中任意两个元的最大公因子都存在,是中个不全为零的元,若,证明: 是的最大公因子互素. 证明 假定. 不互素 中存在元素和非零、非单位的元素,使得 中存在元素和非零、非单位的元素,使得 不是的最大公因子. 所以 是的最大公因子互素. §4.2 惟一分解环 1.证明:整环不是惟一分解环. 证明 显然,,都不是单位,也都不是零元,和都不是的相伴元,但是.所以不是惟一分解环. 2.证明:Gauss整数环中,是唯一分解元. 证明 首先,由§1习题第2题知,在中只有和是单位. 其次,显然都不是零元和单位元.事实上,是中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的.若,则,由此可见,或,从而,是单位或是单位.因此没有非平凡的因子.所以是中的不可约元.当然,它们的相伴元,,也都是不可约元. 现在设,使得 . (*) 于是, . 由此可见,或.当,是中的单位,从而,是的相伴元.这时(*)式不是的不可约元分解式.当时,的值只能是如下八个数之一: ,,,. 显然,这八个数都是的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,是的不可约元分解式,并且:对于的任意一个不可约元分解式,必有;必要时,交换和的下标和次序后,与相伴且与相伴.所以是唯一分解元. 2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11. 注 定理4.11的内容如下: 在一个惟一分解环中,每一个不可约元都是素元. 证明 设是一个不可约元.任意给定,并假设.于是,存在,使得.当或时,显然或.当为单位时,有,从而,.同理,当为单位时,有.现在假定和都不是零元和单位.显然,不是零元,也不是单位.由于是惟一分解环,不妨设 ,,. 其中,(),()和()都是不可约元.于是, . (*) 由于是惟一分解环,可以断言:或者存在(),使得与相伴,从而,; 或者存在(),使得与相伴,从而,.总而言之,或.这样一来,由于的任意性,我们断言是素元. 4.设是惟一分解环,是中()个元,证明:在中的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元. 证明 首先,我们用数学归纳法来证明有最大公因子. 事实上,定理4.10告诉我们,当时,结论成立. 假设当)时结论成立.现在考察的情形: 根据归纳假设,不妨设是的一个最大公因子.根据定理4.10,可设是与的最大公因子.显然,是的一个公因子.假设是的一个公因子.则是一个公因子.由于是的一个最大公因子,因此.由于,因此是与的公因子.这样一来,由于是与的最大公因子,因此.所以是的一个最大公因子. 所以当时有最大公因子. §4.3 主 理 想 环 1.设是主理想环,是的一个最大公因子,证明:,使. 证明 根据定理3.16的推论2,,其中表示生成的理想.根据定理4.15,.因此.由可知,存在,使. 2.设是主理想环,,证明:互素,使. 证明 根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有 互素是与的一个最大公因子 存在,使 是与的一个最大公因子. 所以 互素,使. 3.设是主理想环,,证明: (1)若互素,且,则; (2)若互素,且,,则. 证明 (1) 当时,由可知,;由与互素可知,是单位.因此.所以. 当是单位时,显然. 假设既不是,也不是单位.由于,因此既不是,也不是单位;从而,和都不是.若是单位,则由可知.现在假定不是单位.由于