2017_2018学年高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2.doc

学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.如图2-5-7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若CMN＝90°，则异面直线AD1与DM的夹角为(　　) 图2-5-7 A．30°　　　 B．45° C．60° D．90° 【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1＝a，C1B1＝b，C1C＝c. 则D1(0,0,0)，A(0，b，c)，D(0,0，c)，C(a,0，c)，M，N. 则＝，＝. CMN＝90°，·＝0. 即b2－c2＝0，即b2＝c2. ·＝(0，－b，－c)· ＝－b2＋c2＝0. AD1与DM的夹角为90°. 【答案】　D 2.如图2-5-8，在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　) 图2-5-8 A.　　　　　 B． C. D． 【解析】　作AO平面BCD于O，则O是BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则O(0,0,0)， A，C，E， ＝，＝， cos〈，〉＝＝＝. CE与平面BCD的夹角的正弦值为. 【答案】　B 3．过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABC，且PA＝AB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为(　　) A．75° B．60° C．45° D．30° 【解析】　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，从而＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)．设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1，n2，取n1＝＝(0,0,1)． 设n2＝(x，y，z)，由n2，n2， 可得， 可取n2＝(0,1,1)．于是cos 〈n1，n2〉＝＝＝，所以平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45°. 【答案】　C 4．如图2-5-9所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为(　　) 图2-5-9A. B． C. D． 【解析】　设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝， B，F，C，D. ＝，且为平面BDF的一个法向量． 由＝，＝ 可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)． cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝. tan〈n，〉＝. 【答案】　D 5．P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果BPM＝BPN＝45°，MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为(　　) 【导学号 A．60° B．70° C．80° D．90° 【解析】　设PM＝a，PN＝b，作MEAB，NFAB， 则因BPM＝BPN＝45°，故PE＝，PF＝.于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是α与β的夹角． 【答案】　D 二、填空题 6．若平面α的一个法向量为m＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)，则l与α所成角的余弦值为________． 【解析】　平面α的法向量为m＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)． 则cos 〈m，b〉＝＝＝， sin 〈m，b〉＝. l与α所成角的余弦值为. 【答案】　 7．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________． 【导学号 【解析】　建立如图坐标系，设AB＝1，则D，A(0,0,0)，＝，F(1,0,0)，B(0,1,0)，＝(1，－1,0)． cos θ＝＝＝. 【答案】　 8．如图2-5-10所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C与AB夹角的余弦值为________，A1C1与平面BB1C1C夹角为________，平面A1BCD1与平面ABCD的夹角为________． 图2-5-10【解析】　A1CD是A1C与AB的夹角，cosA1CD＝＝； A1C1B1是A1C1与面BC1的夹角，A1C1B1＝45°； A1BA是面A1BCD1与面ABCD的夹角，A1BA＝45°. 【答案】　　45°　45° 三、解答题 9.如图2-5-11，在三棱锥S-ABC中，SAB＝SAC＝ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝. 图2-5-11 (1)求证：SCB