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高二上数学练习题
1.已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R),g(x)=x2﹣2x+2.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程;
1
(2)当=−时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
2
(3)若对任意的x∈[﹣1,2],均存在x∈(0,+∞),使得g(x)<f(x),求a的取
1212
值范围.
11+
解:(1)当a=1时,f(x)=x+lnx,f(x)=1+=,
∴f(1)=2,
又f(1)=1,
∴曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为:y﹣1=2(x﹣1),即2x﹣y﹣1=0;
11
(2)当=−时,f(x)=−x+lnx,
22
112−
f(x)=−+=,
22
∴当x∈[1,2]时,f(x)>0,当x∈[2,e]时,f(x)<0,
∴f(x)在区间[1,2]上单调递增,在区间[2,e]上单调递减,
∴f(x)max=f(2)=ln2﹣1;
13
又f(1)=−,f(e)=1−,f(1)﹣f(e)=−<0,
2222
1
∴f(x)min=f(1)=−2.
(3)若对任意的x∈[﹣1,2],均存在x∈(0,+∞),使得g(x)<f(x),问题可转
1212
化为g(x)<f(x).
maxmax
∵g(x)=x﹣2x+2=(x﹣1)22+1(﹣1≤x≤2),其对称轴方程为x=1,
∴当x=﹣1时,g(x)取得最大值g(﹣1)=5.
又f(x)=ax+lnx(a∈R),
1
∴f′(x)=a+,
当a≥0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,f(x)无最大值;
1
当a<0时,令f′(x)=0,得x=−,
11
所以f(x)在(0,−)上单调递增,在(−,+∞)单调递减,
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11
故f(x)max=f(−)=﹣1+ln(−)=﹣1﹣ln(﹣a),
所以5<﹣1﹣ln(﹣a),
﹣6
解得:﹣e<a<0.
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