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高二上数学练习题

1．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣2）ex．

（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

1

（2）若关于x的不等式f（x）＜x+a在（，1）上恒成立，求a的取值范围．

2

11

解：（1）依题意，f′（x）=+ex+（x﹣2）ex=+（x﹣1）ex，

则f′（1）＝1，而f（1）＝﹣e，

故所求切线方程为y＝x﹣1﹣e；

（2）证明：依题意，a＞lnx+（x﹣2）e﹣x，令g（x）＝lnx+（x﹣2）e﹣x，xx

1

x−

则g′（x）＝（x﹣1）（e），

11

＜x−

当x＜1时，x﹣1＜0，令h（x）＝（e），

2

1

则h′（x）＝ex+＞0，

2

1

∴h（x）在（，1）上单调递增，

2

1

又h（）=−2＜0，h（1）＝e﹣1＞0，

√

2

11

∴存在x∈（，1），使得h（x）＝0，即0=，即lnx＝﹣x，

02000

0

1

∴当x∈（，x）时，h（x）＜0，此时g′（x）＞0，当x∈（x，1）时，h（x）＞0，

00

2

此时g′（x）＜0，

2

∴g（x）max＝g（x0）＝lnx+（x﹣2）e000−x0＝1−−2x0，

0

21

令m（x）＝1−−2x，（，1），

2

2

则m′（x）=2(1−)＞0，

2

1

∴函数m（x）在（，1）上单调递增，

2

∴m（x）＜m（1）＝﹣3，

∴a≥﹣3，

故a的取值范围为[﹣3，+∞）．

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