2025届高三数学高考二轮专题复习：立体几何中档大题专项训练（含答案）.docx
2025届高三数学高考二轮复习：立体几何中档大题专项训练
1．如图，三棱柱中，，.
(1)求证：平面；
(2)直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
2．如图，在斜三棱柱中，M为的中点，底面为等腰直角三角形，且
(1)若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离;
(2)若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
3．如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点.
(1)证明：B，EF四点共面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
4．如图，在三棱柱中，平面，.
(1)若，求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求的值.
5．如图，在正三棱台中，，
??
(1)若，证明：平面；
(2)若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值.
6．已知均为等腰直角三角形，且，平面平面．平面四边形中，平面，点为的中点，连接．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
7．如图，在四棱锥中，，，，是边长为2的等边三角形，且平面平面，点E是棱上的一点.
??
(1)若，求证：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值；
(3)求点到直线的距离的最小值.
8．如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值．
9．在四棱锥中，平面，底面为矩形，，与平面所成角的正切值．
(1)求的长；
(2)已知是棱上一点，且点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的大小．
10．如图，多面体中，平面平面是的中点.
(1)证明：平面.
(2)若，且二面角的余弦值为，求的长.
11．如图，和所在平面垂直，且，.
(1)求证：；
(2)若，连接，求直线与平面所成角的正弦值.
12．图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且.
(1)证明：平面平面；
(2)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
13．如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，，点是的中点．
??
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．
14．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱的中点.
(1)求证:平面；
(2)求直线BP与平面所成角的正弦值.
15．如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为.
(1)证明：平面；
(2)求四面体的外接球的体积；
(3)求的长.
16．如图，底面四边形是正方形，平面，平面，，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
17．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面的所成角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积．
18．如图，四棱锥的底面是矩形，，是等边三角形，平面平面ABCD，O为AD的中点，在线段PC上且满足与BD相交于点.
(1)求证：平面PBO；
(2)求直线EM与平面PCD所成角的正弦值.
19．如图，三棱锥的棱上存在一点，使得平面底面，点在棱AD上，且平面.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
20．如图所示，多面体中，底面ABCD为菱形，，平面ABCD，，．
(1)探究直线BE与平面是否有交点；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
21．如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值.
22．如图，平面，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求四面体的体积．
《2025届高三数学高考二轮复习：立体几何中档大题专项训练》参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理以及勾股定理，可得线线垂直，结合线面垂直判定定理，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式建立方程，求得点的坐标，根据面面角的向量公式，可得答案.
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理可得，
则，解得，
由，则在中，，
因为，平面，，
所以平面.
（2）由（1）及，则两两相互垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图：
设，由（1）知，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量n=x,y,z，则，可得，
令，则，，所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，
则，解得，则，
在三棱柱中，，则，
设平面的一个法向量，
则，可得，令，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则.
2．(1)2；
(2)
【分析】（1）取的中点O，可得，证明面，即点A到平面的距离，得解；
（2）取的中点O，易得两