一维热传导方程的基本解.pdf

维普资讯 第 l9卷第 4期 山 东 轻 工 业 学 院 学 报 Vo1．19No．4 2005年 12月 JOURNALOFSHANDONGINSTlqUqEOFLIGHTINDUSTRY Dec．2oo5 一 维热传导方程的基本解 曹 钢。王桂珍。任晓荣 (山东轻工业学院数理科学系，山东 济南 250100) 摘要：本文介绍了用积分变换法来求解 ．维热传导柯西问题的基本解，并对其物理意义进行了讨论，用 积分变换法可以将偏微分方程化为常微分方程 ，使方程易于解出，从基本解可 以看 出，在温度平衡过程 中，杆上 各点均受初始状态的影响，而且基本解满足归一化条件表示在热平衡过程中杆的总热量保持不变。 关键词：热传导；基本解；积分变换 中图分类号：0175．14 文献标识码：A 文章编号：1004—4280(2005)04—0077—40 1 方程 由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，称为热传导。其强弱用单位 时间内通过单位截面积的热量表示，叫热流密度 q。热传导的起源是温度 u不均匀，其程度用 温度梯度X7u表示。富里叶热传导定律为 q：=一kX7u 其中k为热传导系数。不同物质的k各不一样…。下面导出物体的温度 u(t，，Y，)所满足 的方程。 设物体是均匀和各向同性的，故其密度p、热传导系数k和比热C均为常数。叉设物体内 有热源分布，其密度为f(t，，Y，z)，即单位时间内体积AV中热源所放出的热量为f(t，，Y， z)AV。在物体内取体积 ，其边界曲面为 S。在曲面上取面元dS，由富里叶定律可知，无穷 小时间段dt内通过dS从 内流出的热量为一k-~dSd，在l一2内自内流出的热蕈应为 舢 dS}d 由奥一高公式，有 Ⅱ一3undS：Ⅱvu·凡ds：Ⅲ△uddyd 故Q1：一i}|』{J△uddydz}dt 另外，在同样时间同样体积内，热源放出的热量为 收稿 日期：2005—03—08 作者简介 ；曾钢 (1960一)，男，山东省济南市人，剐教授，从事物理理论与实验、数学物理方法等方面的教学与研究 【．作 。 维普资讯 78 山 东 轻 工 业 学 院 学 报 第 19卷 Qz=一f’{坷t，，y，)dxdydz}dt 热量差 Q2一Ql使物体温度由 Ⅱ(tl，，Y。)变为 Ⅱ(t2，，Y，)。由热学公式，温度的改 变所须热量为 Ⅲca[Ⅱ(t2,x,y一u(tl,x,y dyd jI『{ ： Ⅲ，auddydt 由热平衡，应有 Q2一Ql=Q3，即 Ⅲ[cP一一J}Iddyd 0 由于 tI，t2和 都是任意的，故得到 一 c；D 一kA 12,一 =0 ． 令0=v厂 ：则方程可写为 = 。2／tt+ ( ，石) 这就是三维热传导方程。如果物体内没有热源分布，则方程为 ： 0 △ Ⅱ 现在考虑各向同性的均匀细杆，其方向为 轴正向。设在每一个垂直于 轴的截面上的 温度相同，细杆的侧面与周围介质没有热交换，且杆 内无热源。这时温度只是坐标 和时间t 的函数，因而，Ⅱ= ：0，则一维热传导方程