全国高中数学联赛二.docx

2018 年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案 一、（本题满分 50 分） 如图， 在△ ABC 中，设 ABAC ，过 A 为半径作圆分别交线段 AB 于 D；交直线 l 证明：直线 DE 、 DF 分别通过△ ABC  作△ ABC 的外接圆的切线 于 E、F。 的内心与一个旁心。  l，又以  A  为圆心， AC （注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。） 证明：（ 1）先证 DE 过△ ABC 的内心。 如图， 连 DE、DC ，作∠ BAC 的平分线分别交 DC 于 G、DE 于 I，连 IC ，则由 AD=AC ， 得， AG ⊥DC ， ID=IC. 又 D、C、E 在⊙ A 上， ∴∠ IAC= 1 ∠ DAC= ∠ IEC，∴ A 、 I、 C、 E 四点共圆， 2 ∴∠ CIE= ∠ CAE= ∠ ABC ，而∠ CIE=2 ∠ ICD ， ∴∠ ICD= 1 ∠ ABC. 2 1 ∠ ABC ，∴∠ ACI= 1 ∠ ACB ，∴ I 为△ ABC 的内心。 ∴∠ AIC= ∠ IGC+ ∠ ICG=90 ° + 2 2 2）再证 DF 过△ ABC 的一个旁心 . 连 FD 并延长交∠ ABC 的外角平分线于 I1，连 II 1、 B I 1、 B I ，由（ 1）知， I 为内心， ∴∠ IBI 1=90 ° =∠ EDI 1，∴ D、 B、 l 1、 I 四点共圆， ∵∠ BI l1 =∠ BDI 1=90 °－∠ ADI 1 =（ 1 ∠ BAC+ ∠ ADG ）－∠ ADI= 1 ∠ BAC+ ∠ IDG ，∴ A 、 I、I 1共线 . 2 2 I1 是△ ABC 的 BC 边外的旁心 二、（本题满分 50 分） 设正数 a、b、 c、 x、 y、 z 满足 cy bz a, az cx b; bx ay c. 求函数 f ( x, y, z) x2 y 2 z2 的最小值 . 1 x 1 y 1 z 解：由条件得， b(az cx b) c(bx ay c) a( cy bz a) 0 ， 即 2bcx a 2 b2 c 2 0 ， x b 2 c2 a2 y a2 c 2 b2 a2 b2 c2 . 2bc ，同理，得 2ac , z 2ab a、 b、c、 x、 y、 z 为正数，据以上三式知， b2 c2 a 2 , a 2 c 2 b2 , a2 b2 c2 ， 故以 a、 b、 c 为边长，可构成一个锐角三角形 ABC ， x cos A, y cos B, z cosC ，问题转化为：在锐角△ ABC 中， 求函数 f (cos A 、 cosB 、 cosC ）= cos2 A cos2 B cos2 C 的最小值 . 1 cos A 1 cos B 1 cosC 令 u cot A, v cot B, w cot C , 则 u, v, w R ,uv vw wu 1, 且 u 2 1 (u v)(u w), v 2 1 (u v)(v w), w 2 1 (u w)(v w). cos2 A u2 u2 u 2 ( u 2 1 u) u 2 1 1 cos A 1 u u 2 1( u 2 1 u) u 2 1 u 2 1 u 2 u 3 1 u 2 (u u 3 w) u 2 u 3 ( 1 1 ), u2 v)(u 2 u v u w 同理， cos2 B v2 v3 ( 1 u 1 ), cos2 C w 2 w 3 ( 1 w v 1 ). 1 cos B 2 u v w 1 cosC 2 u w f u 2 v2 w2 1 ( u 3 v3 v3 w3 u3 w3 ) u 2 v2 w2 1[( u 2 uv v2 ) 2 u v v w u w 2 + (v 2 vw w2 ) (u 2 uw w2 )] 1 (uv vw uw) 1 . （取等号当且仅当 u v w ， 2 2 此时， a b c, x y z 1 ),[ f (x, y, z)] min 1 . 50 分） 2 2 三、（本题满分 当 n为平方数 , 对每个正整数 n，定义函数 f (n) [ 1 ]当 n不为平方数 . { n} 240 （其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数， { x} x [ x]). 试求： f (k ) 的值 . k 1 解：对任意 a, k N * ，若 k 2 a (k 1)2 ，则 1 a k 2 2k ，设 a k ,01, 11 1 a k 2k 2k 1, 1 ] [ 2k ]. 则 a k a k 2 a k