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1988全国高中数学联赛试题 篇一：1988年全国高中数学联赛试题及解答 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午800——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ－1(x) D．y=－φ－1(－x) 2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A．|k|1 B．|k|≠1C．－1lt;klt;1 D．0lt;|k|lt;1 3．平面上有三个点集M，N，P： M={(x，y)| |x|+|y|lt;1}， 112(x－)+(y+)2+22112(x+)+(y－222N={(x，y)| 2}， P={(x，y)| |x+y|lt;1，|x|lt;1，|y|lt;1}．则 A．M??P??NB．M??N??P C．P??N??M D．A、B、C都不成立 4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有 命题甲：θ 3 命题乙：a、b、c相交于一点． 则 A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分 C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 M∪N∪P=I； N≠?． M≠?． P≠?中，正确的表达式的个数是 π A．1B．2C．3D．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： b4－b31．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么． a2－a1 2．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 ． DE3．在△ABC中，已知A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= ． BC 4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为． 三．(15分)长为 积． 四．(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 11五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个nN*， 2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体ab (a+b)n－an－bn≥22n－2n+1． 1988年全国高中数学联赛二试题 一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2， ?5an+1－3an(an·an+1为偶数)，an+2=? a－a(a·a为奇数)．n+1nnn+1? 试证：对一切nN*，an≠0． 二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：S?PQR2S?ABC9． A H Q BRC 三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，……)； kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)； knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论． 1988年全国高中数学联赛解答 一试题 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ－1(x) D．y=－φ－1(－x) 解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B． 2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A．|k|1 B．|k|≠1C．－1lt;klt;1 D．0lt;|k|lt;1 解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1lt;0，选D．