新课标——回归教材不等式.doc

新课标——回归教材 不等式 1、不等式的性质: 名称 不等式 名称 不等式 对称性 (充要条件) 传递性 可加性 (充要条件) 同向不等式可加性: 异向不等式可减性: 可乘性 同向正数不等式可乘性: 异向正数不等式可除性: 乘方法则 开方法则 倒数法则 常用结论 (充要条件) 注:表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的仅仅是证明不等式的依据. 典例:1)对于实数中,给出下列命题:①;②; ③;④;⑤; ⑥;⑦;⑧. 其中正确的命题是 ②③⑥⑦⑧ . 2)已知,,则的取值范围是; 3)已知,且则的取值范围是. 2、不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式); (3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法. 典例:1)设,比较的大小 答案:①当时, (在时取“=”); ②当时,(在时取“=”); 2)已知,试比较的大小.( 答:) 3)设,,,试比较的大小(答:); 4)比较1+与的大小. 答:当或时,1+＞; 当时,1+＜;当时,1+＝ 5)若,且,比较的大小.(答:) 3.利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”. 典例:1)下列命题中正确的是( B ) A.的最小值是2 B.的最大值是 C.的最小值是2 D.的最小值是; 2)若,则的最小值是; 3)已知,且,则的最小值为18; 变式①:已知,则的最小值为 18 ; ②:已知,且,则的最大值为 1 ; ③:已知,且,则的最小值为 9 ; 4.常用不等式有:(1)当时取=号) (2)当时取=号) 上式从左至右的结构特征为:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“积两倍”. (3)真分数性质定理:若,则(糖水的浓度问题). 典例:若,满足,则的取值范围是. 5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法. 比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论.) 常用的放缩技巧有:(右边当时成立) 　　　　 典例:1)已知,求证: ; 2)已知,求证:; 3)已知,且,求证:; 4)若是不全相等的正数,求证:; 5)若,求证:; 6)求证:. 6.常系数一元二次不等式的解法:判别式－图象法 步骤:(1)化一般形式:,其中; (2)求根的情况:; (3)由图写解集:考虑图象得解. 典例:解不等式.(答:) 注:解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程,从中我们不难看出“三个二次”关系是核心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无穷大)是对应一元二次方程(函数)的根(零点). 典例:若关于的不等式的解集为,解关于的不等式.(答:) 7.简单的一元高次不等式的解法:标根法: 其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回); (3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集. 典例:1)解不等式.(答:或); 2)不等式的解集是; 3)设函数、的定义域都是,且的解集为,的解集为,则不等式的解集为; 4)要使满足关于的不等式(解集非空)的每一个的值至少满足不等式和中的一个,则实数的取值范围是. 8.分式不等式的解法: 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母. 典例:1)解不等式(答:); 2)关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为. 注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值. 9.绝对值不等式的解法:(了解) (1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集) 典例:解不等式;(答:); (3)利用绝对值的定义;(3)数形结合; 典例:解不等式;(答:) (4)两边平方 典例:若不等式对恒成立,则实数的取值范围为 10、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键．” 注意:①解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”. ②按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集. 典例:1)若,则的取值范围是; 2)解不等式. (答:时,;时,或;时,或) 含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法. 一般地,设关于