泰勒公式及其应用90907.doc

泰勒公式及其应用 摘要：泰勒公式是数学分析这门课中的一个重要公式，在分析和研究数学问题中有着重要作用，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。它可以应用于求极限、进行近似计算、不等式证明、行列式计算、判断函数极值等方面。我们在这里主要来说明泰勒公式及若干应用。 关键词：泰勒公式；函数；极限；不等式；近似计算；证明；收敛性。 Application of the Taylor Formula Abstract:Taylor formula is a mathematical analysis of this class in an important formula,The Taylor formula plays an important part in analyzing and researching the math problems and make in a powerful lever in other mathematical problems.It can be used in order to limit,to determine the function extremum seeking higher-order derivative values at some point to determine the convergence of series and generalized integral,approximate calculation,inequality proved integral problems,differential equation problem and so on.We are mainly explicating the Taylor formulas and a number of applications. 目录 1.泰勒公式 3 1.1泰勒多项式 3 1.2泰勒公式 3 2.泰勒公式的证明 3 2.1泰勒公式的成立条件及证明 3 2.2泰勒公式的推广 3 3.泰勒公式的应用 3 3.1利用泰勒公式求极限 3 3.2利用泰勒公式进行近似计算 3 3.3用泰勒公式求斜渐近线 3 3.4求某些微分方程中的解 3 3.5用泰勒公式分解既约真分式成部分分式 3 3.6在计算一些特殊类型的有理函数不定积分中的应用 3 3.7用带皮亚诺余项泰勒公式确定无穷小的阶 3 3.8在不等式证明中的应用 4 3.9在行列式计算方面的应用 4 3.10证明根的存在唯一性 4 3.11判断函数极值 4 3.12函数凹凸性及拐点判断中的应用 4 3.13泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用 4 1泰勒公式 1.1泰勒多项式 设在含有的开区间内有直到阶导数，…，为已知，现寻求一个次的代数多项式，使得…能否用近似代替？ 设，则有： …… 由 故所求的代数多项式为 此多项式称为函数在处的阶泰勒多项式。 1.2泰勒公式 设，称其为误差函数。显然 ，从而有 ，（在与之间）， 上式称为函数关于的阶泰勒公式，其中余项 ，（在与之间），称为拉格朗日余项。 当时，，即，（在与之间），这正是拉格朗日公式 当时，称为函数的阶麦克劳林公式，其中。 若设在含有的某个开区间内有直到阶导数，且在内有界，那么对，有 其中，成为佩亚诺型余项。 常见的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式有以下几种： 2泰勒公式的证明 2.1泰勒公式的成立条件及证明 （一）带有佩亚诺余项的泰勒公式 定理1：若函数在点存在直至阶导数，则有，即 证明：设 ， 现在只要证 并易知 因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数于是，当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到 证毕 （二）带有拉格朗日余项的泰勒公式 定理2：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点使得 证明：作辅助函数 ，。 所要证明的式子即为 或 不妨设，则与在上连续，在内可导，且 又因，所以由柯西中值定理证得 ， 其中。 证毕 （三）利用定积分中值定理及牛顿-莱伯尼兹公式证明泰勒公式 定理3：如果函数在含有的某个开区间内具有一直到阶的连续导函数，则当时，可表示为 其中 在与之间。 证明：因为在内具有一直到阶连续导数，所以，，在闭区间（或）上具有一直到阶的连续导数，由牛顿-莱伯尼兹定理。 上式右端应用定积分中值定理 ，在与之间 因此 ，在与之间。 又因为