现代控制理论-3控制系统的状态方程求解.ppt

U(s)G0(s)Y(s)2、由脉冲传函实现离散化步骤：1首先求连续系统的传递函数2按照离散系统的结构图求脉冲传函3按脉冲传函与标准型状态空间表达式的关系写出离散化的状态空间表达式例：已知：*试求A的最小多项式并验证凯—哈定理。注：1.该定理证明要用到矩阵多项式的概念.计算要先求。将各元变为因子相乘的多项式。从中找出各元的最大公因子，且取首1多项式的形式. 1解：2所以最大因子：故A的最小多项式为：进一步可验证上式是以A为根的零化多项式验证凯—哈定理： *由凯—哈定理知：矩阵A的特征多项式是A的零化多项式，即03eAt能化成有限项的依据：02则An可表示成低于n阶幂矩阵的线性组合。0101由此可推得：02上式表明：对于k≥n，Ak均可用An-1，…，A,I这n个独立项的线性组合来表示。所以可将eAt无穷项化成有限项。故可令：第一种情况：A的特征值互异设n个根为λ1λ2…..λn，按上式对每个根都有以下结果即特征方程01式中，—n个待定系数，是t的标量函数。2.待定系数的求法02于是对于01其中系数与前面eAt的系数相同。02当k≥n时，λik的各项均可用的线性组合表示，得出下列方程组：03解此方程组，得系数*01例：已知02试用化为A的有限项法求解：1.求特征值*求系数求第二种情况：A有相重特征值设A有n重特征值λ1，则按以上方法必有下式但由于是n重根，不能按同样形式写出n个方程，对上式依次对λ1求导，直至（n-1）次，可得到（n-1）个导数方程。然后联立这n个方程解出n个待定系数。即解方程组即可求得系数。第三种情况：系统有单根，也有重特征根设系统矩阵A的特征值中，λ1为m重特征值，λm+1，…，λn为互异的单特征值，根据情况二列写m个方程，根据情况一列写（n?m）个方程，解上述n个方程，即可得出系数的计算公式。例：已知系统矩阵试用化eAt为A的有限项法求eAt。010302求系数αi(t)：*解：1.求特征值：即求eAt：*可见，以上几例求出的eAt中各元都是的线性组合。式中：T是采样周期。方程中的矢量，各系数矩阵的名称和维数都与连续系统相同，为简单起见常省去T将方程写成如下形式一.离散系统的状态空间表达式§2-3 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化1.一般形式。由离散状态方程和离散输出方程组成。结构图。上述方程可用结构图来表示即：3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表达式之间的转换在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式之间的变换，和连续系统分析相类似。连续D.E离散差分方程脉冲传函状态空间表T.FS.E 达式例：已知脉冲传递函数为01差分方程为02试求其状态空间表达式解：1,G(z)差分方程状态空间表达式03所以G（z）部分分式法状态空间表达式01则02状态空间表达式G(z)定常连续系统的离散化离散方程设定常连续系统对连续系统，若常用数字计算机进行实时控制或求解，首先必须把连续系统转化成离散系统，这个过程称之为连续系统的离散化。010302连续系统其状态解为：*123即取t0=kT,t=(k+1)T直接离散化(精确离散化方法)：离散化的实质就是用一个矩阵差分方程去代替一个矩阵微分方程。123在其输入向量u(t)=u(kT)，初始时刻t0=kT，则状态方程的解为对第二项积分作变量代换：令t=(k+1)T-τ；dt=-dτ上限：τ=(k+1)T，t=(k+1)T-τ=0下限：τ=kT,t=(k+1)T-τ=T与离散系统的状态空间模型比较可得：*例：求