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Lambert问题基本解法
引言
Lambert问题是航天动力学中经典的两点边界值问题，在空间交会、星际航行等领域中有广泛的应用。Lambert问题可以表述为给定空间中的两个位置P1和P2(对应的矢量分别为r1和r2)以及飞行时间(tf)和飞行方向(顺时针或逆时针)，要求飞行器由位置P1经过时间tf飞行到位置P2的开普勒轨道。目前，解决lambert问题已经有相当成熟的理论和方法。本文将阐述lambert问题的一般解法，并用Battin
Lambert问题的一般解法
解决lambert问题有很多方法，比较常用的有lambert—euler方法、Gauss方法、以及battin方法。以上方法都是以lambert定理为基础的解法，lambert定理可以表述为：在kepler轨道上运行一段弧线所需要的时间tf只取决于三个量：轨道半长轴a，弧起点和终点到引力中心的距离之和(r1+r2)，以及连接弧起点和终点的弦长c。
t
下面将给出battin方法求解lambert问题的计算步骤和公式：
求起点和终点的矢径夹角θ
θ
其中：r1=r1；
R=r1×r2
最小能量半长轴am
a
其中： S=
求lagrange参数和lagrange转移时间方程
lagrange参数?，?可以表示为
α
对于β，当θ?,β=-β0
其中：a为半长轴；x定义为x2
-
lagrange转移时间方程表示为
t
由于r1+r2和可以用r1，r2表示，这样，lagrange转移时间方程就转化为tf
图1飞行圈数N=0,tf=?x(左)与
tmXmintmin
tm
Xmin
tmin
图2飞行圈数N=1,tf=?x(左)与
说明:
1.半长轴a单位是1AU，时间t单位是1TU/2/?。(AU,TU为天文单位)
2.从图1tf=?x与tf=?a的对比中，我们可以看出：对于N=0时，
3.从图2tf=?x与tf=?a的对比中我们可以看出：对于N0时，对于给定的tf会存在两个x或a与之对应
比较图1和图2，对于指定飞行圈数的lambert问题，当N=0时，存在唯一的x与tf对应；当N0时，存在两个的x与
下面分析N0时，x与t
tft
tmin
tf=
tf
tf
求起点和终点的速度
v
v
其中：
?=
?=
计算实例
1.由轨道[100000]到[1.500002?/3]和[1.500004?/3]经过时间tf
图3N=0飞行轨道图
表1起点和终点的速度(V1和V2)
N=0
t
t
t
t
t
t
[1.5
0
0
0
0
2?/3]
V1
(km/s)
[-39.286451.3673
0]
[-7.572536.7000
0]
[4.073332.2947
0]
[10.274630.1738
0]
[14.178828.9177
0]
[16.886628.0818
0]
V2
(km/s)
[-54.242925.46180]
[-28.50640.44130]
[-19.7163-8.91000]
[-15.1870-13.92710]
[-12.3889-17.09880]
[-10.4719-19.30450]
[1.5
0
0
0
0
4?/3]
V1
(km/s)
[-66.161417.20030]
[-29.062624.66670]
[-16.492828.20160]
[-10.034230.25310]
[-6.048631.60220]
[-3.319632.56310]
V2
km/s)
[-21.4950-60.16420]
[2.0836-29.28010]
[10.7495-18.98350]
[15.3606-13.73210]
[18.2622-10.50530]
[20.2739-8.30200]
图4N=1飞行轨道图
表2目标轨道为[1.500002?/3]时起点和终点的速度
N=1
t
t
t
t
tf
t
[1.5
0
0
0
0
2?/3]
V1
(km/s)
[2.529632.84680]
[-0.0559