复变函数（第四版）课后习题答案-高等教育出版社.doc

习题一解答 求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （1） 1 ； （2）1 ? 3i ； （3） ?3 ? 4i??2 ? 5i? ； （4）i8 ? 4i 21 ? i 3 ? 2i 解 （1） 1 ? i 3 ? 2i 1 ? i ? 2i 1 ?3 ? 2i? 3 ? 2i 所以 ?3 ? 2i??3 ? 2i? 13 Re? 1 ? ? ? ， Im? 1 ? ? ? 2 , ?3 ? 2 i ? ?? ?3 ? 2i ? 13  1 3 ? 2i ? ? ? 1 ?3 ? 2i? ， ? 13 ? 1 ? ? ? ? ， 13 ? 1 ? Arg? ? ? arg? ? ? 2kπ ? 3 ? 2 i ? ? 3 ? 2 i ? ? ? arctan 2 ? 2k? , k ? 0,?1,?2,… 3 （2） 1 ? 3i ? ? i ? 3i?1 ? i? ? ?i ? 1 ?? 3 ? 3i? ? 3 ? 5 i, i 1 ? i 所以 i?? i? ?1 ? i?(1 ? i) Re?1 ? 2 2 2 3i ? ? 3 , ? 1 ? i ? 2 Im?1 ? 3i ? ? ? 5  ? 1 3i ? ? ?  3 ? i 5 ? ? ， 1 ? 1 ? i ? 2 ? ? ， ? i 1 ? i ? 2 2 i 2 ? 1 3i ? ? 1 3i ? Arg? ? ? ? arg? ? ? ? 2kπ ? i 1 ? i ? ? i 1 ? i ? ? ? arctan 5 ? 2kπ? 3 k ? 0??1??2?… . （3） ?3 ? 4i??2 ? 5i? ? ?3 ? 4i??2 ? 5i??? 2i? ? ?26 ? 7i??? 2i? 2i ?2i??? 2i??4 ? ?7 ? 26i ? ? 7 ? 13i 2 2 所以 Re??3 ? 4i??2 ? 5i?? ? ? 7 ， ? 2i ? Im? ?3 ? 4i??2 ? 5i?? ? ?13 ， ? 2i ? ? ?3 ? 4i??2 ? 5i?? ? ? 7 ? l3i ? 2i ? ?3 ? 4i??2 ? 5i? ? 5 29 ， 2i 2 Arg? ?3 ? 4 i??2 ? 5 i?? ? arg??3 ? 4 i??2 ? 5i?? ? 2kπ ? 2 arctan 26 ? π ? 2kπ ?? 2 i ?? ?? 2 i ???7 ? arctan 26 ? ?2k ?1?? , 7 k ? 0,?1,?2,… . （4） i8 ? 4i21 ? i ? ?i2 ?4 ? 4?i2 ?10 i ? i ? ?? 1?4 ? 4??1?10 i ? i ? 1 ? 4i ? i ? 1 ? 3i 所以 Re?i8 ? 4i21 ? i?? 1, Im?i8 ? 4i21 ? i?? ?3 ??i8 ? 4i21 ? i?? ? 1 ? 3i ，| i8 ? 4i21 ? i |? ? ? Arg?i8 ? 4i21 ? i?? arg?i8 ? 4i21 ? i?? 2kπ ? arg?1 ? 3i?? 2kπ = ?arctan3 ? 2kπ k ? 0,?1,?2,…. 如果等式 x ? 1 ? i?y ? 3? ? 1 ? i 成立，试求实数 x, y 为何值。 5 ? 3i 解：由于 x ? 1 ? i?y ? 3? ? ?x ? 1 ? i?y ? 3???5 ? 3i? 5 ? 3i ?5 ? 3i??5 ? 3i? ? 5?x ? 1?? 3?y ? 3?? i?? 3?x ? 1?? 5?y ? 3?? 34  比较等式两端的实、虚部，得 ? 1 ?5x ? 3y ? 4?? i?? 3x ? 5y ?18? ? 1 ? i 34 ? 5x ? 3y ? 4 ? 34 或? 5x ? 3y ? 38  解得 x ? 1, y ? 11 。 ?? 3x ? 5 y ? 18 ? 34 ?? 3x ? 5 y ? 52  证明虚单位i 有这样的性质：-i=i-1= i 。 证明 1) | z |2 ? zz # 6) Re(z) ? 1 (z ? z), Im(z) ?  1 (z ? z ) 2 2i 证明：可设 z ? x ? iy ，然后代入逐项验证。 对任何 z ， z2 ?| z |2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些值才成立？ 解：设 z ? x ? iy ，则要使 z2 ?| z |2 成立有 x2 ? y2